Question

14．如图所示，A、B、C三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上，一小球若以初速度v₁从A点水平抛出，恰好能通过B点，从A点运动到B点所用时间为t₁，到B点时速度与水平方向的夹角为θ₁，落地时的水平位移为x₁；若以初速度v₂从A点水平抛出，恰好能通过C点，从A点运动到C点时速度与水平方向的夹角为θ₂，落地时的水平距离为x₂．已知AB的水平距离是BC水平距离的2倍，则（　　）

• A． v₁：v₂=2：3
• B． t₁：t₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• C． tanθ₁：tanθ₂=2：3
• D． x₁：x₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 平抛运动落在ABC的连线上时，竖直方向的位移和水平方向上位移比值一定，根据该规律求出平抛运动的时间，从而求出落在ABC的连线上时，速度与水平方向的夹角相等；由此分析即可．

解答 解：由于A、B、C三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上，所以竖直方向的位移和水平方向上位移比值一定；设ABC的连线与水平方向之间的夹角为θ，则：
tanθ=$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$   ①
解得：t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$．  ②
则落在ABC的连线上时竖直方向上的分速度v_y=gt=2v₀tanθ．
设速度与水平方向的夹角为α，有$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=2tanθ$   ③
知小球到达ABC的连线上时，速度与水平方向的夹角与初速度无关，则小球与水平方向的夹角相同．
A、由几何关系可知，AB自己的水平距离与AC之间的水平距离之比为2：3；所以小球到达B点与C点时，竖直方向为位移之比为：$\frac{{y}_{b}}{{y}_{c}}=\frac{2}{3}$   ④
由y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ⑤
联立②⑤得：$y=\frac{2{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}θ}{g}$
所以：$\frac{{y}_{b}}{{y}_{c}}=\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}$  ⑥
联立④⑥可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$    ⑦．故A错误；
B、联立②⑦得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．故B正确；
C、由公式③知，小球到达ABC的连线上的B点与C点时，速度与水平方向的夹角与初速度无关，则小球与水平方向的夹角相同，所以tanθ₁：tanθ₂=1：1．故C错误；
D、两个小球在竖直方向都做自由落体运动，所以运动的时间是相等的，水平方向的位移：x=v₀t   ⑧
联立⑦⑧可得：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．故D正确．
故选：BD

点评 解决本题的关键掌握平抛运动的规律，知道平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．同时在解答的过程中要注意使用题目中的条件“A、B、C三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上”．