Question

17．如图是放在光滑水平面和竖直墙角处的小车，其上表面左侧是一个半径为R的四分之一圆弧，右端固定一挡板，小车连同挡板的总质量为M（不计上表面与滑块间的摩擦），一根轻质弹簧的右端与挡板固定，一个质量为m的滑块A，从圆弧轨道正上方距轨道最高点h高处静止释放，恰好进入轨道沿圆弧下滑，在车的上表面的水平部分与静止的另一质量也为m的滑块B发生碰撞，碰后AB粘在一起运动，随后压缩弹簧，已知M=2m，求
（1）弹簧第一次被压缩时所具有的最大弹性势能．
（2）若AB被弹簧弹开后恰好能返回到圆弧轨道的最高点，则开始释放A滑块时，A距圆弧轨道最高点的高度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出滑块到达最低点的速度，对A、B组成的系统运用动量守恒求出粘在一起的速度，当AB与小车速度相同时，弹簧压缩量最大，结合动量守恒定律和能量守恒定律求出最大的弹性势能．
（2）当AB被弹簧弹开后恰好返回最高点时，水平方向上动量守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出h的大小．

解答 解：（1）滑块A从最高点运动到圆弧轨道的最低点过程中，根据动能定理得，$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{2g（h+R）}$，
与B发生碰撞的过程中动量守恒，规定向右为正方向，有：mv₁=2mv₂，解得${v}_{2}=\sqrt{\frac{g（h+R）}{2}}$．
当AB与小车具有相同速度时，弹簧压缩最短，规定向右为正方向，根据动量守恒有：2mv₂=（M+2m）v₃，
解得${v}_{3}=\sqrt{\frac{g（h+R）}{8}}$，
则弹簧最短弹性势能${E}_{p}=\frac{1}{2}2m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}（M+2m）{{v}_{3}}^{2}$=$\frac{mg（h+R）}{4}$．
（2）当AB被弹簧弹开后恰好返回最高点时，水平方向上动量守恒，可知AB与小车的速度v₄=v₃=$\sqrt{\frac{g（h+R）}{8}}$，
根据系统机械能守恒得，$\frac{1}{2}2m{{v}_{2}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}（2m+M）{{v}_{3}}^{2}$，
代入数据解得h=3R．
答：（1）弹簧第一次被压缩时所具有的最大弹性势能为$\frac{mg（h+R）}{4}$；
（2）A距圆弧轨道最高点的高度为3R．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．