Question

11．n匝矩形线圈ABCD，长AB=a，宽BC=b，总电阻为r，它在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的对称轴OO′，以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，线圈通过电刷与外电阻组成闭合回路，如图所示．求：
（1）发电机产生的电动势的峰值；
（2）图中电压表的示数；
（3）线框从图示位置开始计时，写出闭合电路中电流随时间变化的函数表达式；
（4）线框从图示位置开始计时，转过60°时线圈的磁通量的变化率；
（5）使线圈转动一周，外力做的功．

Answer 1

分析 （1）根据公式E_m=NBSω求解电动势最大值；
（2）电表的示数为有关效值．
（3）从垂直中性面位置开始计时，e=E_mcosωt；
（4）根据法拉第电磁感应定律列式求解电动势的平均值，再根据欧姆定律求解平均电流，最后根据电流定义公式求解电量．
（5）根据焦耳定律Q=I²Rt求解热量．

解答 解：（1）根据公式E_m=NBSω，此交流发电机产生感应电动势的最大值为：E_m=nBSω=nBabω；
　　（2）电压表的示数为有效值为：U=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}×\frac{R}{R+r}$=$\frac{nBabωR}{\sqrt{2}（r+R）}$
    （3）从垂直中性面位置开始计时，有：e=E_mcosωt=nBSωcosωt；
        根据欧姆定律，电流为：i=$\frac{e}{R+r}$=$\frac{nBsω}{r+R}$cosωt
   （4）从图示位置开始，线圈转过60°的过程中，磁通量变化为：$\frac{△Φ}{△t}$=Φ₂-Φ₁=BSsin60°-0=$\frac{\sqrt{3}}{2}Bab$
     变化率为：$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{3\sqrt{3}Babω}{2π}$
    （5）线圈转动一周，外力做的功等于所产生的电能为：$W=\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{（R+r）}\frac{2π}{ω}$=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{a}^{2}{b}^{2}πω}{R+r}$
答：（1）发电机产生的电动势的峰值为nBabω；
（2）图中电压表的示数为=$\frac{nBabωR}{\sqrt{2}（r+R）}$
（3）线框从图示位置开始计时，闭合电路中电流随时间变化的函数表达式为=$\frac{nBsω}{r+R}$cosωt
（4）线框从图示位置开始计时，转过60°时线圈的磁通量的变化率为$\frac{3\sqrt{3}Babω}{2π}$；
（5）使线圈转动一周，外力做的功为$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{a}^{2}{b}^{2}πω}{R+r}$

点评 本题关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，同时要会计算平均值和瞬时值，难度适中．