Question

15．在足够长的倾角为θ=37°的斜面上有一长L=27m的木板，上下表面均与斜面平行，木板与斜面间的动摩擦因数为μ₁=0.5．木板上端有一质量与木板相同的小物块（可看成质点），物块和木板上部分的动摩擦因数为μ₂=0.375，二者均处于静止状态，如图所示．某时刻起物块和木板同时开始运动，准确测量发现，运动2s后，木板的上表面突然变光滑，但木板与斜面间的动摩擦因数保持不变．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在前2秒时间内物块和木板的加速度各为多大
（2）物块在木板上运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）分别以物块和木板为研究对象，根据受力情况结合牛顿第二定律求解加速度大小；
（2）根据牛顿第二定律求解木板减速运动的加速度大小并计算减速到零的时间，计算此过程中二者的位移；最后木板静止，根据匀加速直线运动求解时间，并求出总的时间

解答 解：（1）设物块的加速度为a₁，质量为m，沿斜面方向根据牛顿第二定律可得：
mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₁，
代入数据解得a₁=3m/s²；
设木板的加速度为a₂，沿斜面方向根据牛顿第二定律可得：
mgsin37°+μ₂mgcos37°-μ₁•2mgcos37°=ma₂，
代入数据解得：a₂=1m/s²；
（2）t₁=2s时间内物块的位移为：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×3×4m=6m$，
速度大小为：v₁=a₁t₁=3×2m/s=6m/s；
此过程中木板的位移为：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×4m=2m$，
速度大小为：v₂=a₂t₂=1×2m/s=2m/s；
此后木板减速运动的加速度为：a₃=μ₁•2gcos37°-gsin37°=2m/s²，
减速到零的时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{3}}=\frac{2}{2}s=1s$，
此过程中木板的位移为：$x{′}_{2}=\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}=\frac{2}{2}×1m=1m$，
物块在光滑部分的加速度为：a₄=gsin37°=6m/s²，
木板减速到零时物块的位移为：x′₁=v₁t₂+$\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{2}^{2}$=6×1+$\frac{1}{2}×6×{1}^{2}$=9m，
此时物块的速度为：v₂=v₁+a₄t₂=6+6×1=12m/s，
以后木板静止，物块做匀加速直线运动，再经过t₃时间滑出木板，则物块以后加速运动的位移为：x=L-（x₁-x₂）-（x′₁-x′₂）=27-4-8=15m，
根据位移时间关系可得：$x={v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}$，
代入数据解得：t₃=1s；
所以物块在木板上运动的总时间为：t=t₁+t₂+t₃=2s+1s+1s=4s．
答：（1）在前2秒时间内物块的加速度为3m/s²，木板的加速度为1m/s²；
（2）物块在木板上运动的总时间为4s．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．