Question

18．如图，MNP为竖直面内一固定圆弧轨道，其$\frac{1}{4}$圆弧段MN与水平段NP相切与N，P端固定一竖直挡板．M相对于N的高度为h，NP长度为s．一质量为m的木块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞（碰撞中无能量损失）后停止在水平轨道上某处．若在MN段的摩擦可以忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求：
（1）木块第一次过N点时对N点的压力
（2）木块与竖直挡板碰撞前瞬时的速度
（3）物块停止的位置与N点距离．

Answer 1

分析 （1）第一次从静止开始下滑到N点过程中机械能守恒，求出到达N的速度，由重力和N点对木块的支持力的合力充当向心力求出木块第一次过N点时对N点的压力．
（2）在NP段由摩擦力做负功使木块的动能减小，由动能定理求出木板与竖直挡板碰撞前瞬时速度．
（3）对物体运动过程进行分析，选择某一过程利用功能关系进行研究，能列出等式求未知量．

解答 解：（1）设物体过N点时的速度为v_N，木块第一次过N点时对N点的压力大小为F_N
则由机械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}$
到达N点时，由圆周运动得：$\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{h}$=F_N-mg
联立以上两式得：${v}_{N}=\sqrt{2gh}$，F_N=3mg
（2）木块在NP段运动时所受摩擦力：f=μmg
设木块与竖直挡板碰撞前瞬时的速度为v_P
由动能定理：$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}-μmgs$
解得：v_P=$\sqrt{2gh-2μgs}$
（3）根据功能原理，在物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，物块的重力势能的减少△E_P与物块克服摩擦力所做功的数值相等．
△E_P=W_f-----①
设物块的质量为m，在水平轨道上滑行的总路程为s′，
则△E_P=mgh-----②，
W_f=μmgs′--------③
连立①②③化简得：s′=$\frac{h}{μ}$
第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，在到达N前停止，
则物块停止的位置距N的距离为：d=2s-s′=2s-$\frac{h}{μ}$
第二种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，滑下后在水平轨道上停止，
则物块停止的位置距N的距离为：d₁=s′-2s=$\frac{h}{μ}-2s$
答：（1）木块第一次过N点时对N点的压力为3mg；
（2）木块与竖直挡板碰撞前瞬时的速度为$\sqrt{2gh-2μgs}$；
（3）物块停止的位置与N点距离可能为（2s-$\frac{h}{μ}$）或者（$\frac{h}{μ}-2s$）．

点评 根据题意要能考虑到物体运动可能经历的过程，利用功能关系得出水平轨道上滑行的总路程．