Question

6．人类渴望探索宇宙，了解更多的地外文明，若假设某天人类发现了类地球行星，探测器飞近该星球后绕其环绕飞行，探测器记录了飞行的周期T和飞行的速度大小v以及飞行高度h，求：
（1）该星球质量；
（2）该星球第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）探测器绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力求出星球质量
（2）星球的第一宇宙速度即星球的近地卫星的运行速度

解答 解：（1）由$v=\frac{2πr}{T}$，得：$r=\frac{vT}{2π}$
根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$：
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}×\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{3}}{（2π）_{\;}^{3}}$=$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）星球的半径为：$R=r-h=\frac{vT}{2π}-R$
根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2π}}{\frac{vT}{2π}-R}}$=$\sqrt{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{vT-2πR}}$
答：（1）该星球质量$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）该星球第一宇宙速度$\sqrt{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{vT-2πR}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．