Question

11．建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”如图所示，电动机带动两个滚轮始终匀速转动．当夯杆在深穴底时，两个滚轮紧压夯杆，依靠摩擦力将夯杆提上来，在夯杆下端达到深穴口前，两个滚轮彼此分开，使夯杆下端与地面相平时，速度正好为零；然后，夯杆在自身重力的作用下落回深坑，夯实坑底；两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此循环运动．已知两个滚轮边缘的速度相同为v=3m/s，每个滚轮对夯杆的正压力N=3.25×10⁴ N，滚轮和夯杆间的动摩擦因数μ=0.4，夯杆的质量m=2×10³kg，坑深h=13.95m．假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，可以视为不变．取g=10m/s²．求：
（1）夯杆加速上升过程中加速度的大小；
（2）两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离；
（3）一个完整的上升下降过程，夯杆的运动时间．

Answer 1

分析 （1）先求出夯杆受到的摩擦力，从而求出夯杆向上匀加速运动的加速度．
（2）由速度位移关系公式求得夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时夯的底端离坑底的高度h₁；再分析夯杆上升过程的运动情况，从而确定两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离；
（3）根据（2）问的分析，分匀加速上升、匀速上升和匀减速上升以及自由下落四段求一个完整的上升下降过程夯杆的运动时间．

解答 解：（1）夯杆在上升过程中，对夯杆进行受力分析知，夯杆所受摩擦力为：
    f₁=2μN=2×0.4×3.25×10⁴ N=2.6×10⁴N；
夯杆产生加速度为：a₁=$\frac{{f}_{1}-mg}{m}$=$\frac{{f}_{1}}{m}$-g=$\frac{2.6×1{0}^{4}}{2×1{0}^{3}}$-10=3m/s²
（2）当夯杆与滚轮相对静止时，有 v=a₁t₁=3m/s，得：t₁=1s
匀加速过程夯杆上升的高度 h₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×3×{1}^{2}$=1.5m
当夯杆以v=3m/s的初速度竖直上抛后，继续上升的高度为：h₂=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{20}$=0.45m
所以当夯杆加速向上运动速度到达v=3m/s后，夯杆匀速上升，匀速上升高度为：h₃=h-h₁-h₂=13.95m-1.5m-0.45m=12m
因此，夯杆先匀加速上升，后匀速上升，再竖直上抛．故两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离为：△h=13.95m-0.45m=13.5m．
（3）夯杆竖直上抛运动的时间为：t₂=$\frac{v}{g}$=$\frac{3}{10}$=0.3s；
夯杆匀速上升的时间为：t₃=$\frac{{h}_{3}}{v}$=$\frac{12}{3}$=4s；
由h=$\frac{1}{2}$gt₄²可得夯杆从最高点开始自由下落的时间为：t₄=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×13.95}{10}}$≈1.67s
故打夯周期为：T=t₁+t₂+t₃+t₄=1+0.3+4+1.67=6.97s
答：（1）夯杆加速上升过程中加速度的大小是3m/s²；
（2）两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离是13.5m；
（3）一个完整的上升下降过程，夯杆的运动时间是6.97s．

点评 本题的关键是分析求出夯杆的运动情况，根据牛顿第二定律和运动学公式边计算边分析，要注意抓住各个过程之间的联系，如速度关系、位移关系等．