Question

9．如图，半径R=0.5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙倾斜直轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°．将一个质量m=0.5kg的物体（视为质点）从A点左侧上方高为h=0.8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道．已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.7，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物体水平抛出时的初速度大小v₀；
（2）物体经过B点时，对圆弧轨道的最大压力大小F_N；
（3）物体在轨道CD上运动时，离开C点的最大距离x及在CD轨道上的运动总路程s．

Answer 1

分析 （1）物体做平抛运动，由自由落体运动的规律求出物体落在A时的竖直分速度，然后应用运动的合成与分解求出物体的初速度大小v₀．
（2）通过计算分析清楚物体的运动过程，由能量守恒定律求出物体在B点的速度，然后又牛顿第二定律求出物体对圆弧轨道压力大小F_N；
（3）先由机械能守恒求出物体在C点的速度，然后由动能定理即可求解离开C点的最大距离x及在CD轨道上的运动总路程s．

解答 解：（1）由平抛运动规律知：
竖直分速度：$v_y^2=2gh$${v_y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
初速度：${v_0}={v_y}tan{37^0}$=4×0.75m/s=3m/s
（2）对对物体，从P至B点的过程，由动能定理可有：$\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_0^2=mg（h+R-Rcos{53^0}）$
经过B点时，由牛顿第二定律可有：$F_N^/-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
代入数据解得：$F_N^/=mg+m\frac{v_B^2}{R}=34N$
（3）因μmgcos37°＜mgsin37°，
物体沿轨道CD向上作匀减速运动，速度减为零后又沿CD轨道下滑
从B到上滑至最高点的过程，由动能定理有：-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据可解得：$x=\frac{135}{116}≈1.2m$
在轨道CD上运动通过的路程x约为1.2m             
从B到上滑至最高点再回到B点的过程，由动能定理有：$\frac{1}{2}mv_{Bt}^2-\frac{1}{2}mv_B^2=-μmg2xcos{37^0}$$v_{Bt}^2=3{（m/s）^2}$
又因为：$mgR（1-cos{37^0}）＜\frac{1}{2}mv_{Bt}^2=0.732＜mgR（1-cos{53^0}）$
故物体不会从A点滑出轨道，但会第二次滑上CD轨道．         
从B到滑至C点速度为零的过程，由动能定理有$0-\frac{1}{2}mv_B^2=-mgR（1-cos{37^0}）-μmgscos{37^0}$
代入数据解得：$s=\frac{135}{56}≈2.4m$
答：（1）物体水平抛出时的初速度大小3m/s；
（2）物体经过B点时，对圆弧轨道的最大压力大小34N；
（3）物体在轨道CD上运动时，离开C点的最大距离1.2m，在CD轨道上的运动总路程2.4m．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动情况，然后根据动能定理、平抛运动知识、能量守恒定理解题，本题用的知识点较多，难度较大．