Question

1．如图所示，一斜面固定在水平面上，倾角为θ=30°，高度为h=1.5m，一薄木板B置于斜面顶端，恰好能保持静止，木板下端连接有一根自然长度为l₀=0.2m的轻弹簧，木板总质量为m=1kg，总长度为L=2.0m，一质量为M=3kg的小物块A从斜面体左侧某位置水平抛出，该位置离地面高度为H=1.7m，物块A经过一段时间后从斜面沿平行于斜面方向落到木板上并开始向下滑行，已知A、B之间的动摩擦因数为$μ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，木板下滑到斜面底端碰到挡板时立刻停下，物块A最后恰好能脱离弹簧，且弹簧被压缩时一直处于弹性限度内，最大摩擦力可认为等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，求：
（1）物块A落地木板上的速度大小v；
（2）弹簧被压缩到最短时间的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）物块A落到木板前做平抛运动，根据平抛运动的规律求解；
（2）根据牛顿第二定律分别求解物块A和木板B的加速度，根据运动学公式求出AB达到共同速度的时间及共同速度大小；AB达到共同速度以后整体一起沿斜面向下做匀速运动，木板与挡板碰撞后木板停止运动，根据运动学公式求出物块与弹簧刚接触时的速度，从物块刚接触弹簧到物块刚离开弹簧，根据能量守恒定律，即可求出产生的内能；再从物块刚接触弹簧到压缩到最短的过程，根据能量守恒定律，即可求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）物块A落到木板前做平抛运动，竖直方向：$2g（H-h）={v}_{y}^{2}$，
得：${v}_{y}^{\;}=2m/s$
物块A落到木板时的速度大小为：$v=\frac{{v}_{y}^{\;}}{sin30°}=4m/s$
（2）由木板恰好静止在斜面上，得到斜面与木板间的摩擦因数${μ}_{0}^{\;}$应满足：
$mgsin30°={μ}_{0}^{\;}mgcos30°$
得：${μ}_{0}^{\;}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 
物块A在木板上滑行时，以A为对象有：${a}_{A}^{\;}$=$\frac{μMgcos30°-Mgsin30°}{M}$=2.5$m/{s}_{\;}^{2}$（沿斜面向上）
以木板B为对象有：${a}_{B}^{\;}$=$\frac{μMgcos30°+mgsin30°-{μ}_{0}^{\;}（M+m）gcos30°}{m}$=7.5$m/{s}_{\;}^{2}$（沿斜面向下）
假设A与木板达到${v}_{共}^{\;}$时，A还没有压缩弹簧且木板还没有到达底端，则有：
${v}_{共}^{\;}={a}_{B}^{\;}t=v-{a}_{A}^{\;}t$
解得：${v}_{共}^{\;}=3m/s$，t=0.4s
此过程，${x}_{A}^{\;}=\frac{v+{v}_{共}^{\;}}{2}•t=1.4m$，${x}_{B}^{\;}=\frac{{v}_{共}^{\;}}{2}•t=0.6m$$＜\frac{h}{sin30°}-L=1m$
故$△x={x}_{A}^{\;}-{x}_{B}^{\;}=0.8m$＜L-${l}_{0}^{\;}$=1.8m，说明以上假设成立
共速后，由于（M+m）gsin30°=${μ}_{0}^{\;}$（M+m）gcos30°，A与木板B一起匀速到木板与底端挡板碰撞，木板停下，此后A做匀减速到与弹簧接触的过程，设接触弹簧时A的速度为${v}_{A}^{\;}$，有：$-2{a}_{A}^{\;}（L-{l}_{0}^{\;}-△x）$=${v}_{A}^{2}-{v}_{共}^{2}$
解得：${v}_{A}^{\;}=2m/s$   
设弹簧最大压缩量为${x}_{m}^{\;}$，A从开始压缩弹簧到刚好回到原长过程有：
$Q=2μMg{x}_{m}^{\;}cos30°$=$\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$
得：Q=6J，${x}_{m}^{\;}=\frac{2}{15}m$
A从开始压缩弹簧到弹簧最短过程有：
${E}_{pm}^{\;}=\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$+$Mg{x}_{m}^{\;}sin30°$-$\frac{1}{2}Q$=5J
即弹簧压缩到最短时的弹性势能为5J
答：（1）物块A落地木板上的速度大小v为4m/s；
（2）弹簧被压缩到最短时间的弹性势能为5J．

点评 本题综合考查了平抛运动、牛顿运动定律、运动学公式及能量守恒定律，过程复杂，综合性较强，对学生的要求较高，要加强这类题型的训练．