Question

3．如图所示，右边传送带长L=15m、逆时针转动速度为v₀=16m/s，左边是光滑竖直半圆轨道（半径R=0.8m），中间是光滑的水平面AB（足够长）．用轻质细线连接甲、乙两物体，中间为一压缩的轻质弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴连．甲的质量为m₁=3kg，乙的质量为m₂=1kg，甲、乙均静止在光滑的水平面上．现固定甲物体，烧断细线，乙物体离开弹簧后在传送带上滑行的最远距离为S_m=12m．传送带与乙物体间动摩擦因数为0.6，重力加速度g取10m/s²，甲、乙两物体可看作质点．（细线烧断后，可认为弹簧势能全部转化为物体的动能）
（1）若固定乙物体，烧断细线，甲物体离开弹簧后进入半圆轨道，求通过D点时轨道对甲物体的压力大小；
（2）若甲、乙两物体均不固定，烧断细线以后，问甲物体和乙物体能否再次在AB面上发生水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞前瞬间甲、乙两物体的速度；若不会碰撞，说明原因．

Answer 1

分析 （1）固定甲物体，烧断细线，根据能量守恒定律求出弹簧的弹性势能．固定乙物体，烧断细线，根据能量守恒定律求出甲通过D点时的速度，甲过D点时，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列出等式求解．
（2）甲、乙分离根据动量守恒和能量守恒列出等式求出分离时的速度，再根据牛顿第二定律和运动学公式求解．

解答 解：（1）固定甲物体，烧断细线，根据能量守恒定律得，弹簧的弹性势能为：
E_p=μm₂gS_m=0.6×1×10×12J=72J
若固定乙物体，烧断细线，甲离开弹簧以后，由机械能守恒定律得：
E_p=m₁g•2R+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{D}^{2}$
过D点时，根据牛顿第二定律得：
m₁g+N=m₁$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：N=m₁g=30N
（2）甲、乙分离分离过程中，动量守恒，选向左方向为正，根据动量守恒得：
m₁v₁-m₂v₂=0
甲、乙及弹簧系统的能量守恒，则得：
E_p=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
得：v₁=2$\sqrt{3}$m/s，v₂=6$\sqrt{3}$m/s
之后甲沿轨道上滑，设上滑最高点高度为h，则有：
$\frac{1}{2}$m₁v₁²=m₁gh
得：h=0.6m＜0.8m
则甲上滑不到等圆心位置就会返回，返回AB面上速度仍然是：v₁=2$\sqrt{3}$m/s
乙滑上传送带，因v₂=6$\sqrt{3}$m/s＞10m/s
则乙先向右做匀减速运动，后向左匀加速．
由对称性可知返回AB面上速度为传送带速度10m/，
所以甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞时甲乙的速度大小分别是：
v₁=2$\sqrt{3}$m/s，
v₂=6$\sqrt{3}$m/s
 答：（1）通过D点时轨道对甲物体的压力大小是30N．
（2）甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞时甲乙的速度大小分别是2$\sqrt{3}$m/s和6$\sqrt{3}$m/s．

点评 本题的关键要清楚研究对象的运动情况，能选择不同的研究过程运用物理规律求解．要知道释放弹簧的过程遵守能量守恒定律．