Question

16．如图所示，在光滑水平面上有一质量M=2kg的小车处于静止状态，小车上表面水平轨道AB的长度L=lm，和水平轨道右端B点相连的是一光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，其半径R=0.5m．现有一个质量m=lkg的小物块以速度v₀=4m/s滑上小车的左端A点，小物块和小车水平轨道间的动摩擦因μ=0.4，（g取，10m/s²）．求：
（1）若小车固定不动，则小物块能滑上圆弧轨道的最大高度为多少？
（2）若小车不固定，则小物块从开始运动到第一次通过小车右端B点所用的时间为多少？
（3）若小车不固定，则分析小物块是否会从小车上滑下来？若不滑下来，小物块最终离小车右端B点多远？

Answer 1

分析 （1）对小物块滑上圆弧轨道的过程应用动能定理求解；
（2）根据牛顿第二定律求得小车和小物块的加速度，然后利用位移公式根据相对位移求得运动时间；
（3）根据动量守恒得到末速度，然后由动能定理求得物块在小车上滑动的距离，继而得到最终稳定位置．

解答 解：（1）小车固定不动，小物块在小车上运动只有重力、摩擦力做功，设小物块能滑上圆弧轨道的最大高度为h，则由动能定理可得：
$-μmgL-mgh=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：$h=\frac{\frac{1}{2}{{v}_{0}}^{2}-μgL}{g}=0.4m$；
（2）若小车不固定，那么在小物块速度大于小车速度时，小物块受到的合外力f=μmg=4N，方向向左，物块做加速度${a}_{1}=\frac{f}{m}=4m/{s}^{2}$的匀减速运动；
小车受到的合外力为f′=4N，方向向右，小车做加速度${a}_{2}=\frac{f′}{M}=2m/{s}^{2}$的匀加速运动；
故设小物块从开始运动到第一次通过小车右端B点所用的时间为t，则有：$L={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
解得：$t=\frac{1}{3}s或t=1s$；
又有小物块速度大于小车速度，故v₀-a₁t≥a₂t，所以，$t≤\frac{2}{3}s$，所以，$t=\frac{1}{3}s$；
（3）若物块不从小车上滑下来，那么，物块最终必停在AB上和小车保持相对静止，一起以速度v′向右运动；
物块和小车在水平方向上合外力为零，故在水平方向上动量守恒，所以有：mv₀=（M+m）v′
解得：$v'=\frac{4}{3}m/s$；
又有，运动过程中只有摩擦力做功，故由动能定理可得：${W}_{f}=\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-\frac{16}{3}J$；
那么，小物块在小车上AB上滑动的距离为：$d=\frac{-{W}_{f}}{f}=\frac{4}{3}m$
故小物块最终停在离小车右端B点$\frac{1}{3}m$处．
答：（1）若小车固定不动，则小物块能滑上圆弧轨道的最大高度为0.4m；
（2）若小车不固定，则小物块从开始运动到第一次通过小车右端B点所用的时间为$\frac{1}{3}s$；
（3）若小车不固定，小物块不会从小车上滑下来，小物块最终离小车右端B点$\frac{1}{3}m$处．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．