Question

4．一辆摩托车的最大行驶速度为72km/h，能维持这一最大速度的时间是1min，然后以2.75m/s²的加速度作匀减速运动，现让摩托车由静止出发，做加速度为2m/s²的匀加速直线运动，去追赶前方x（m）处正以32.4km/h沿同一直线同向匀速行驶的汽车．求：
（1）若摩托车速度最大时刚好追上汽车，x的值；
（2）若摩托车能在减速之前追上汽车，x的范围
（3）若摩托车最终能追上汽车，x的最大值．

Answer 1

分析 （1）若摩托车刚好能在加速过程中追上汽车，也就是摩托车恰好达到最大速度时两车相遇，利用位移和速度公式即可求解；
（2）若摩托车刚好能在减速之前追上汽车，就是摩托车达到最大速度，并以此速度行驶了1min，此时同样利用位移时间关系即可；
（3）摩托车后段做减速运动，并能追上前面的汽车的意思就是摩托车追上汽车时的速度恰好等于汽车的速度，同样利用位移与时间的关系求解．

解答 解：（1）72km/h=20m/s，32.4km/h=9m/s
设摩托车的加速过程能持续的时间为t₁，发生位移为x₁，此过程中汽车行驶x₁′，由v_m=a₁t₁，${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$，得：
x₁=100m
x₁′=90m
所以，摩托车要能在速度最大时刚好追上汽车，有：x=x₁-x₁′=100-90=10m
（2）摩托车在减速之前能运动的最长时间为：t₂=t₁+60s=70s，
在此过程中摩托车发生的位移为：x₂=x₁+v_mt=1300m，
汽车能前进的最大位移为：x₂′=vt₂=9×70=630m
则摩托车在减速之前追上汽车，有：x≤x₂-x₂′=1300-630=670m
（3）设摩托车从开始减速到速度达到汽车的速度所经历的时间为△t，则由v=v_m+a₂△t得：
△t=4s
此过程中摩托车前进的位移为：x₃=$\frac{{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}}{2{a}_{2}}$=58m
汽车的位移为：x₃′=v△t=36m
则摩托车要能追上汽车，x的最大值为：x_m=x₂+x₃-（x₂′+x₃′）=692m
答：（1）若摩托车刚好能在加速过程中追上汽车，x等于10m；
（2）若摩托车刚好能在减速之前追上汽车，x小于等于670m；
（3）若摩托车在维持最大速度1min后，做加速度大小为2.75m/s²的匀减速直线运动，摩托车要能追上汽车，x的最大值是692m．

点评 解答此题的关键是弄清楚题目中摩托车和汽车运动的关系，并且知道什么时刻恰好追上和恰好追不上的含义，此题的难度适中．