Question

5．如图所示，在边界OO′左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B₀，磁场中有一个正方形单匝线圈abcd，线圈平面在纸面里且线圈bc边与OO′重合，线圈边长为L，每边电阻均为R，试求：
（1）让线圈绕ad边以角速度ω匀速转动，求线圈从图示位置转过60°时通过线圈截面的电量以线圈转动一周线圈中产生的电流的有效值；
（2）让线圈绕bc边以角速度ω匀速转动，求线圈从图示位置转过一周线圈中产生的电流的有效值及线圈中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）线圈转动过程中产生感应电动势，求流过电阻截面的电荷量用电流的平均值，根据交流电产生的正弦交流电的特点判断出有效值；
（2）根据电流的热效应求得电流的有效值，根据焦耳定律求得产生的焦耳热

解答 解：（1）让线圈绕ad边以角速度ω匀速转动，线圈从图示位置转过60°，线圈中磁通量的变化量为：
$△∅={B}_{0}{L}^{2}-{B}_{0}{L}^{2}cos60°=\frac{1}{2}{B}_{0}{L}^{2}$
平均感应电动势为：
$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$
通过导体截面的电荷量为：
$q=\overline{I}△t=\frac{△∅}{4R}=\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{8R}$
产生的感应电动势为：
${E}_{m}={B}_{0}{L}^{2}ω$
产生的感应电动势的有效值为：
$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{{B}_{0}{L}^{2}ω}{\sqrt{2}}$
电流的有效值为：
$I=\frac{E}{4R}=\frac{\sqrt{2}{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$
（2）让线圈绕bc边以角速度匀速转动，有电流的热效应可知：
$I{′}^{2}（4R）T={I}^{2}（4R）•\frac{T}{2}+0$
解得：$I′=\frac{{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$
根据焦耳定律，转动一周产生的焦耳热为：
Q=I′²（4R）T=$\frac{π{ωB}_{0}^{2}{L}^{4}}{8R}$
答：（1）线圈从图示位置转过60°时通过线圈截面的电量以线圈转动一周线圈中产生的电流的有效值分别为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{8R}$和$\frac{\sqrt{2}{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$；
（2）线圈从图示位置转过一周线圈中产生的电流的有效值及线圈中产生的焦耳热分别为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$和$\frac{π{ωB}_{0}^{2}{L}^{4}}{8R}$

点评 线框在匀强磁场中匀速转动，产生正弦式交变电流．产生的热量均由交变电的有效值来确定．而通过某一电量时，则用平均值来求．同时注意磁场只有一半．