Question

5．如图所示，两平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨相距L₁，导轨上分布着n个宽度为d、间距为2d的匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向上．在导轨的左端连接一个阻值为R的电阻，导轨的左端距离第一个磁场区域L₂的位置放有一根质量为m，长为L₁，阻值为r的金属棒，导轨电阻及金属棒与导轨间的接触电阻均不计．现用一水平向右的已知恒力F使导体棒由静止开始向右运动．已知金属棒穿过任何一段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流及其变化相同．求：

（1）金属棒刚进入磁场区域时流过电阻R的电流I；
（2）金属棒穿过n个有界匀强磁场过程中通过电阻R的电荷量q；
（3）金属棒从开始运动到穿过全部磁场区域的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q_R．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出金属杆进入磁场时的速度，结合切割产生的感应电动势公式和闭合电路欧姆定律求出电流的大小．
（2）根据电量的经验表达式q=$\frac{△Φ}{R+r}$求出通过一个磁场区域时通过电阻R的电荷量，从而得出穿过n个有界匀强磁场过程中通过电阻R的电荷量．
（3）金属棒穿过任何一段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流及其变化相同，可知金属棒进入每个磁场区域时的速度均相同，从进入刚进入第一个磁场区域到刚进入第二个磁场区域的过程中，根据能量守恒得出产生的热量，从而得出穿过全部磁场区域产生的热量，得出电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）设金属棒刚进入磁场时的速度为v₀，根据动能定理：$F{L}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$．
此时产生的电动势：E=BL₁v₀=$B{L}_{1}\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$，
电流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{B{L}_{1}}{R+r}\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$．
（2）金属棒穿过一个磁场区域通过电阻R的电荷量：${q}_{0}=\frac{△Φ}{R+r}=\frac{B{L}_{1}d}{R+r}$，
所以穿过n个有界匀强磁场过程中通过电阻R的电荷量q=nq₀=$\frac{nB{L}_{1}d}{R+r}$．
（3）由题意知，金属棒进入每个磁场区域时的速度均相同，都是v₀，且在磁场中运动的规律均相同，设在一个磁场中运动的过程中回路产生的焦耳热为Q₀，从进入刚进入第一个磁场区域到刚进入第二个磁场区域的过程中，根据能量守恒：Q₀=F•3d=3Fd，
所以穿过全部磁场区域的过程中产生的热量：Q=nQ₀=3nFd．
则电阻R上产生的焦耳热${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{3nFdR}{R+r}$．
答：（1）金属棒刚进入磁场区域时流过电阻R的电流I为$\frac{B{L}_{1}}{R+r}\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$；
（2）金属棒穿过n个有界匀强磁场过程中通过电阻R的电荷量q为$\frac{nB{L}_{1}d}{R+r}$；
（3）金属棒从开始运动到穿过全部磁场区域的过程中，电阻R上产生的焦耳热为$\frac{3nFdR}{R+r}$．

点评 本题综合考查了导体切割磁感线产生的电动势，牛顿第二定律和能量守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，选择合适的规律进行求解．