Question

6．如图所示，将平面镜MN放在水平桌面上，紧贴镜面放一厚度为d的足够大的玻璃板．已知玻璃的折射率为n，玻璃板的正中间有一个半径为r的圆形发光面s，为了从玻璃的上方看不见圆形发光面，可在玻璃板的上表面贴一块不透光的纸片，求所贴纸片的最小面积．

Answer 1

分析 作出光路图，S点为圆形发光面边缘上一点．由该点发出的光线能射出玻璃板的范围由临界光线SA确定，当入射角大于临界角C时，光线就不能射出玻璃板了．根据折射定律和几何知识结合进行求解．

解答 解：如图所示，

发光面S在在平面镜中的像s′，A为s′的右边缘，
如果AO的光线射向O点并恰好发生全反射，则入射角θ恰好为玻璃的临界角．
在O点外侧玻璃的上表面不再有折射光线．B点为A在玻璃上方的对应点，
则r+OB为玻璃上表面透光面的最大半径．
临界角公式：sinθ=$\frac{1}{n}$，
由几何关系可得：sin=$\frac{OB}{\sqrt{O{B}^{2}+（\frac{3d}{2}）^{2}}}$，
解得：OB=$\frac{3d}{2\sqrt{{n}^{2}-1}}$，圆纸片的最小半径：R=r+OB，
圆纸片的最小面积：S=π（r+$\frac{3d}{2\sqrt{{n}^{2}-1}}$）²；
答：所贴纸片的最小面积为π（r+$\frac{3d}{2\sqrt{{n}^{2}-1}}$）²．

点评 本题关键要理解看不到圆形发光面的原因是由于发生了全反射，再作出光路图，运用折射定律和几何知识结合进行求解．