Question

2．如图1，用一根长为L=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．求（g=10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$，计算结果可用根式表示）：

（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，当ω的取值范围在0到ω′之间时，请通过计算求解T与ω²的关系，并在图2坐标纸上作出T-ω²的图象，标明关键点的坐标值．

Answer 1

分析 （1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω₀．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解．
（3）根据小球的角速度较小，小球贴着锥面运动和离开锥面运动两个过程，分析并作出图象．

解答 解：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ=mω${{ω}_{0}}^{2}$Lsin θ
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}=\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：
mgtan α=mω′²Lsin α
解得：ω′=$\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}=2\sqrt{5}$rad/s．
（3）a．当ω₁=0时 T₁=mgcosθ=8N，标出第一个特殊点坐标（ 0，8N）；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}$rad/s时，根据牛顿第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω²Lsinθ，
Tcosθ+Nsinθ=mg
解得$T=mgcosθ+mL{ω}^{2}（sinθ）^{2}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
当${ω}_{2}=\sqrt{12.5}rad/s$时，T₂=12.5N 标出第二个特殊点坐标[12.5（rad/s）²，12.5N]；
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤2\sqrt{5}rad/s$时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β，
${T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}Lsinβ$
解得：${T}_{3}=mL{ω}^{2}$
当$ω=ω′=2\sqrt{5}rad/s$时，T₃=20N
标出第三个特殊点坐标[20（rad/s）²，20N]．
画出T-ω²图象如图所示．

答：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为$\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为2$\sqrt{5}$rad/s．
（3）T-ω²的图象如上所示．

点评 本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解，并要运用数学知识作出图象，难度较大．