Question

9．如图所示，半径为R的半球形容器，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过容器球心O的对称轴OO′重合，转台以一定的角速度ω匀速转动且相对容器壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为45°，重力加速度为g．
（1）若ω=ω₀时，小物块受到的摩擦恰好为零，求ω₀？
（2）若ω＞ω₀，求小物块受到的摩擦力大小和方向？

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当ω＞ω₀，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtan45°=$mRsin45°{{ω}_{0}}^{2}$，
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）若ω＞ω₀，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得：
fcos45°+Ncos45°=mRsin45°ω²．
fsin45°+mg=Nsin45°
联立两式解得：f=$\frac{1}{2}mR{ω}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mg$
答：（1）若ω=ω₀时，小物块受到的摩擦恰好为零，则ω₀为$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$；
（2）若ω＞ω₀，小物块受到的摩擦力大小为$\frac{1}{2}mR{ω}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mg$，方向沿罐壁切线向下．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．