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17．如图所示，一轻弹簧左端固定在竖直墙上，自然伸长时右端到A，水平面上放置一个质量为M=20kg的长木板（木板与弹簧不拴接），水平面与木板间的动摩糠因数为μ1=0.1，开始时木板左端恰好在A处，一质量为m=16kg的物块（可视为质点）从木板右端以速度v0=6m/s滑上长木板，物块与木板间的动摩擦因数为μ2=0.5木板压缩弹簧，经过时间t=1.0s弹簧被压缩了x0=2.5m，此时物块与木板恰好不再相对滑动，此后物块与木板相对静止，直至停止在水平面上，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2；
（1）求木板的长度至少多长？
（2）求物块与木板达到共同速度的瞬间，弹簧的弹性势能为多大？
（3）若弹簧的弹性势能EP=$\frac{1}{2}$k△x2，其中k为弹簧的劲度系数，△x为弹簧的形变量，则最终木板能否离开弹簧？若能，则离开后在水平面上滑行的距离为多少？若不能，请通过计算说明．

分析 （1）研究物块从开始在木板上滑动到相对静止的过程，由牛顿第二定律求出物块的加速度，由速度公式求出木板和物块达到共同速度经历的时间，从而求出物块和木板的位移，得到两者的相对位移，即等于木板的最长长度．
（2）从物块开始在木板上滑动到相对静止的过程，对木板应用动能定理，求出弹簧对木板做的功，即可得到木板对弹簧做的功，根据功能关系得到弹簧的弹性势能．
（3）达到共同速度后，木板继续向左运动，速度减至零后又反向运动，对来回两个过程，对木板和物块整体运用动能定理列式，即可求解木板离开后在水平面上滑行的距离．

解答 解：（1）物块从开始在木板上滑动到相对静止的过程
对物块，加速度大小为 a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=5m/s2；
设木板和物块的共同速度为v1，可知 v1=v0-at=1m
物块运动的位移为 s1=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}t$=3.5m
木板运动的位移为 s2=x0=2.5m
物块与木板的相对位移为 s=s1-s2=1m
此后它们一起运动，所以木板长度至少为 s=1m
（2）从开始到物块和木板达到共同速度的过程中，设弹簧对木板所做的功为-W．
对木板应用动能定理有
  μ2mgx0-μ1（M+m）gx0-W=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
解得 W=100J
则木板对弹簧做的功 W=100J，此功转化为弹簧的弹性势能，即物块与木板共速时，弹簧的弹性势能为100J．
（3）达到共同速度后，木板继续向左运动，设又向左运动s3的距离木板速度减为0，然后反向运动，假设木板左端能回到A点，设木板到A时的速度为v2，从速度v1到v2，对物块和木板应用功能关系有
  W-μ1（M+m）g（2s3+x0）=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}$ ①
对弹簧有 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=W ②
对木板和物块由达到共速到向左减速到有
  $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}k（{s}_{3}+{x}_{0}）^{2}$-μ1（M+m）gs3=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}$ ③
联立①②③可得 v2=0.98m/s，则木板左端能回到A点，则离开弹簧后在水平面上滑行的距离 L=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=0.48m
答：
（1）木板的长度至少1m．
（2）物块与木板达到共同速度的瞬间，弹簧的弹性势能为100J．
（3）木板左端能回到A点，离开弹簧后在水平面上滑行的距离为0.48m．

点评 运用能量守恒或动能定理解题，关键选择好研究的过程，确定共速状态的速度，分析过程中的能量转化，然后列式求解．

练习册系列答案
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