Question

2．宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度v₀沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为$\sqrt{2}$v₀．已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球的质量M；
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，先根据平抛运动的公式求出该星球上的重力加速度，再使用万有引力定律，即可解题；
（2）星于对卫星的万有引力提供圆周运动向心力求解人造卫星的最小发射速度即第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球竖直方向上：v_y=gt
解得星球表面的重力加速度为：$g=\frac{v_y}{t}=\frac{v_0}{t}$
星球表面的重力等于万有引力，有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
联立解得：$M=\frac{{{R^2}{v_0}}}{Gt}$
（2）对近地卫星：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\frac{{\sqrt{{v_0}tR}}}{t}$，即为该星球第一宇宙速度．
答：（1）该星球的质量为$M=\frac{{{R^2}{v_0}}}{Gt}$；
（2）该星球的第一宇宙速度为$v=\frac{{\sqrt{{v_0}tR}}}{t}$．

点评 该题将万有引力定律与平抛运动结合起来考查，关键要理清解题的思路，难度中等．掌握规律是关键．注意对第一宇宙速度的理解．