有个演示实验.在上.下两面都是金属板的玻璃盒内.放了许多锡箔纸揉成的小球.当上下板间加上电压后.小球就上下不停地跳动．现取以下简化模型进行定量研究．如图所示.电容量为C的平行板电容器的极板A和B水平放置.相距为d.与电动势为e.内阻可不计的电源相连．设两板之间只有一个质量为m的导电小球.小球可视为质点．已知:若小球与极板发生碰撞.则碰撞后小球的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

有个演示实验，在上、下两面都是金属板的玻璃盒内，放了许多锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动．现取以下简化模型进行定量研究．如图所示，电容量为C的平行板电容器的极板A和B水平放置，相距为d，与电动势为e、内阻可不计的电源相连．设两板之间只有一个质量为m的导电小球，小球可视为质点．已知：若小球与极板发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球所带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α＜＜1）．不计带电小球对极板间匀强电场的影响．重力加速度为g．
（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势e至少应大于多少．
（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔丁内小球做了很多次往返运动．求：
a．小球做一次往返运动所需要的时间；
b．在T时间内通过电源的总电量．

分析这是一道高考原题，玻璃球与与电源相连的金属板相碰后带上同种电，由于互相排斥而离开分别做匀变速运动．由于与上、下板碰撞后带电的电性不一样，则小球受到的电场力不相同，加速度也不同．
（1）要使小球能往返运动，则向上的电场力应大于重力，写出相应的关系式，代入就可求得电动势的最小值．
（2）先据牛顿第二定律求出向上和向下的加速度，再由运动学公式求出向上和向下的时间．则上下往返的次数也就求出来了，由于每次往返获得的电量为2q，则时间T
内通过电源的总量也能求出．

解答解：（1）用Q表示极板电荷量的大小，q表示碰后小球电荷量的大小．要使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则：
$\frac{eq}{d}＞mg$…①
其中q=αQ…②
Q=Ce…③
联立得：$e＞\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$
（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动．以a₁表示其加速度，t₁表示从A板到B板所用的时间，则有：
$\frac{eq}{d}+mg=m{a}_{1}$…④
$d=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$…⑤
当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a₂表示其加速度，t₂表示从B板到A板所用的时间，则有：
$\frac{eq}{d}-mg=m{a}_{2}$…⑥
$d=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$…⑦
小球往返一次共用时间为：（t₁+t₂）=$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}$
故小球在T时间内往返的次数：$n=\frac{T}{{t}_{1}+{t}_{2}}$…⑧
由以上关系式得到：$n=\frac{T}{\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．
小球往返一次通过的电量为2q，在T时间内通过电源的总电量Q'=2qn．由以上两式可得：Q′=$\frac{2αCeT}{\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．
答：（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势e至少应大于$\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$．
（2）a．小球做一次往返运动所需要的时间=$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}$．b．在T时间内通过电源的总电量为$\frac{2αCeT}{\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．