Question

16．如图所示，半径为$\frac{1}{4}$l、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a、b与杆在同一竖直平面内）．求：计算结果可以带根号，g不要带具体值．
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆．
（2）ω至少达到多少时b轻绳伸直开始有拉力．

Answer 1

分析 （1）小球恰离开竖直杆时，受重力和拉力，拉力的竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力；
（2）角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r=lsin60°的匀速圆周运动，再根据拉力的竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知sinα=$\frac{1}{4}$，r=$\frac{l}{4}$，
沿半径：Fasinα=mω²r
垂直半径：Facosα=mg
联立解得ω=$2\sqrt{\frac{g}{\sqrt{15}l}}$
（2）角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r=lsin60°
沿半径：Fasin60°=mω²r
垂直半径：Facos60°=mg       
联立解得ω₂≥$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
答：（1）竖直杆角速度ω为$2\sqrt{\frac{g}{\sqrt{15}l}}$时，小球恰离开竖直杆；
（2）ω至少达到$\sqrt{\frac{2g}{l}}$时b轻绳伸直开始有拉力．

点评 本题关键是明确明确小球合力的水平分力提供向心力，竖直分力平衡，要求同学们能正确分析小球的受力情况，难度适中．