Question

15．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在圆心为C半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在原点O放置一带电微粒发射装置，它发射出具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速度大小为v的带电微粒，速度方向分布在xOy平面第一和第二象限内的各个方向上．重力加速度大小为g．已知从O点沿y轴正方向竖直向上发射的带电微粒射出磁场区域后一直平行于x轴作直线运动打到PN荧光屏上，PN荧光屏垂直x轴，PN屏的长度大于2R．
（1）求电场强度和磁感应强度的大小和方向．
（2）求PN屏上光斑长度
（3）若撤除匀强磁场，且保持匀强电场的大小不变，方向改为水平向右．调节初速度v的大小，使得从O点沿与x轴正方向成45°方向发射的粒子a落到圆周上D点（图中未画出）时的速度比沿其他方向发射的粒子落到圆周上其他各点的速度都要大．求初速度v的大小？当粒子a恰好落到圆周上D点时，是否还有其它粒子同时落到圆周上．若有，求出其它粒子在圆周上的落点到D点的距离；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据带电微粒所受重力与电场力平衡求出电场强度的大小与方向；由几何关系确定粒子做圆周运动的半径，然后根据半径公式求出磁感应强度；
（2）为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴负方向运动．由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场，结合数学知识求出符合条件的磁场区域的圆方程，最后求出PN屏上光斑长度．
（3）没有磁场时，粒子在竖直方向做匀减速运动，水平方向做匀变速运动，可以先求出合力，然后使用抛体运动的规律解答．

解答 解：（1）带电微粒射出磁场区域后一直平行于x轴作直线运动，说明重力和电场力平衡．
由mg=qE  可得：E=$\frac{mg}{q}$，方向沿y轴正方向．
带电微粒进入磁场后，将做圆周运动．依题意得 r=R
由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
  得：$B=\frac{mv}{qR}$  方向垂直于纸面向外

（2）因为 r=R，对任意一个速度，四边形OCBO₂为菱形，则BO₂平行OC，
带电微粒射出磁场区域后平行于x轴作直线运动
则PN屏上光斑长度为2R  
（3）小球做类平抛运动a=$\sqrt{2}$g，方向沿CD方向
$\overline{OG}=\frac{\sqrt{2}}{2}R=vt$    
$\overline{OA}=\overline{GD}=R-\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$  
$v=\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+1）gR}{2}}$   


如图根据运动的合成和圆的对称性可知：另一个粒子落在圆周的B点：sin∠CAD=$\frac{R}{\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\overline{BD}=2\overline{AD}sin∠CAD=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
答：（1）电场强度和磁感应强度的大小$\frac{mv}{qR}$，方向垂直于纸面向外；
（2）PN屏上光斑长度是2R；
（3）若撤除匀强磁场，且保持匀强电场的大小不变，方向改为水平向右．调节初速度v的大小，使得从O点沿与x轴正方向成45°方向发射的粒子a落到圆周上D点（图中未画出）时的速度比沿其他方向发射的粒子落到圆周上其他各点的速度都要大．初速度v的大小是$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+1）gR}{2}}$；当粒子a恰好落到圆周上D点时，还有其它粒子同时落到圆周上．另一个粒子落在圆周的B点：sin∠CAD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；BD之间的距离：$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$．

点评 本题的关键与难点是由数学知识求是否还有其它粒子同时落到圆周上，平时要注重数学方法在物理中的应用，该题型常常作为压轴题出现．