Question

20．如图所示，在坐标系xOy的第一象限内，有平行于y轴向上的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在y轴上A、B两点各有一个粒子源，A、B两点到坐标原点的距离和x轴上一点C到坐标原点的距离相等，两粒子源沿x轴正向同时发射出速度大小分别为v₁、v₂的两个粒子，粒子的质量、电量大小相等，电性相同，不计粒子的重力，两粒子都从C点第一次穿过x轴．
（1）若两粒子恰好在C点相碰，则电场强度大小E与磁感应强度大小B之比可能是多少？
（2）若x轴上C点右侧有一点D，CD=a，从A粒子源发出的粒子从C点进入磁场后能直接到达D点，粒子的质量为m，电量大小为q，磁场的磁感应强度B大小为多少？
（3）若从B点射出的粒子也能到达D点，粒子的质量为m，电量大小为q，则CD间的距离CD=a，求磁感应强度B应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，在磁场做圆周运动，分别由运动的合成与分解和洛仑兹力充当向心力可求得EB之比；
（2）粒子由电场进入磁场时，由几何关系可得出粒子在磁场中的半径，再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度的大小；
（3）要使B点的粒子也能到达D点，应先从C进入电场后再反向进入磁场到达D点，故粒子的轨迹一定为半圆；则可得出对应的半径关系，则由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度应满足的关系．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向有：l=v₁t
竖直方向有：l=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}$t²
联立解得：E=$\frac{2m{v}_{1}^{2}}{q{L}^{\;}}$；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好到达C点，由几何关系可知：R=l
由洛仑兹力充当向心力可知：Bqv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{m{v}_{2}}{ql}$
故电场强度与磁感应强度的比值为：$\frac{E}{B}$=2$\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}}$
（2）粒子在电场中做类平抛运动，进入磁场时水平位移和竖直位移相等，则有：
l=v₀t
l=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
则有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=2；
进入磁场的速度为：v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+（2{v}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{5}$v₁
即进入磁场的夹角的正切值为2；由几何关系可知，粒子在磁场中的转动半径为：r=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a
由洛仑兹力充当向心力可得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{4m{v}_{1}}{aq}$；
（3）要使从B点入射的粒子也能到达C点，则粒子从C点竖直上升后进入电场，在电场中做匀减速运动，然后再返回到C点，然后做圆周运动到达D点，
由对称性可知，粒子到达D点时应满足CD间的距离是圆周运动直径的整数倍；即a=2nR；
则由洛仑兹力充当向心力可知：Bqv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qR}$=$\frac{2nm{v}_{2}}{qa}$（n=1，2，3…）
答：（1）电场强度大小E与磁感应强度大小B之比可能为2$\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}}$；
（2）磁场的磁感应强度B大小为为$\frac{4m{v}_{1}}{aq}$；
（3）磁感应强度B应满足的条件：B=$\frac{2nm{v}_{2}}{qa}$（n=1，2，3…）

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，要注意在电场中粒子做类平抛运动，在磁场中粒子做圆周运动，注意找出圆的几何性质．