Question

5．如图1，在直角坐标系X≤0的区域存在磁感强度大小为2B₀的匀强磁场，在X＞0的区域存在如图2变化的匀强磁场，两磁场方向均垂直纸面向内，在t=0时刻有一质量为m，带电量为+q的带电粒子以大小为v₀的初速度沿+X方向从O点进入磁场（不计粒子重力）．

（1）求带电粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时间内运动的半径和周期；
（2）试画出t=0时刻到t₁=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻粒子的轨迹，并求出t₁时刻粒子坐标位置及速度方向；
（3）若在t₁=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻，撤去X＞0区域处磁场，同时在该区域加一沿+Y方向匀强电场，请通过计算判断粒子再次进入电场前能否回到O点．

Answer 1

分析 （1）带电粒子进入磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动的规律可求其运动半径和周期．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据时间与周期的关系，画出粒子的运动轨迹，由几何关系求t₁时刻粒子坐标位置，并分析速度方向．
（3）加匀强电场后，粒子在电场中做类平抛运动，由几何知识求出粒子再次进电场前在Y轴上的侧移量，与粒子轨迹半径比较，即可作出判断．

解答 解：（1）带电粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时间内，由$q{v_0}（2{B_0}）=\frac{mv_0^2}{r_1}$得 ${r_1}=\frac{{m{v_0}}}{{2q{B_0}}}$
周期${T_1}=\frac{{2π{r_1}}}{v_0}$ 得 ${T_1}=\frac{πm}{{q{B_0}}}$；
（2）当B=B₀时 ${r_2}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}=2{r_1}$，${T_2}=\frac{2πm}{{q{B_0}}}$=2T₁；
0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₁为半径一个圆周，$\frac{πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₂为半径半个圆周，$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₁为半径一个圆周，$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$的运动以r₁为半径半个圆周，$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$～$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₂为半径$\frac{1}{4}$圆周，$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$的运动以r₁为半径$\frac{1}{4}$圆周，轨迹如下图所示．

故坐标为（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向．
（3）如下图，设粒子进左侧磁场时速度与+Y成θ角，则再次进电场前在Y轴上的侧移量为△Y=2rsinθ
而 r=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
得△Y=$\frac{mvsinθ}{q{B}_{0}}$=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$＜$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
故不可能回到O点．

答：
（1）带电粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时间内运动的半径为$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，周期为$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（2）画出t=0时刻到t₁=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻粒子的轨迹如图，t₁时刻粒子坐标为（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向；
（3）粒子再次进入电场前不能回到O点．

点评 解决本题的关键是根据粒子的运动情况，画出其运动轨迹，要边计算，边分析，分析时要抓住圆周运动的周期性和对称性，结合几何知识求解．