Question

8．竖直平面内有一个$\frac{1}{4}$圆弧AB，半径为R，O为圆心，OA水平，OB竖直，现从圆心O处以不同的速度水平抛出很多个相同质量的小球，小球可以看作质点，不计空气阻力，则（　　）

• A． 小球速度足够大可以到达A点
• B． 小球落在圆弧上速度的反向延长线不可能超过OA中点
• C． 小球落在圆弧中点时，动能最小
• D． 小球在圆弧的落点到OA间距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$R时，动能最小

Answer 1

分析 根据平抛运动的位移、速度规律得到落点范围及速度反向延长线与OA交点范围，然后根据几何关系得到落点位置与末动能的关系，进而求得取得最小动能的位置．

解答 解：A、小球做平抛运动，要落在AB上，运动时间t＞0，故竖直位移y＞0，那么，小球不可能落在A点；故A错误；
B、小球做平抛运动，设初速度为v₀，末速度为v，那么有$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t，末速度与水平方向夹角为θ，则有$tanθ=\frac{gt}{{v}_{0}}=\frac{2y}{x}=\frac{y}{\frac{1}{2}x}$，所以，小球落在圆弧上速度的反向延长线与OA交点距O的距离为$\frac{1}{2}x$；
又有小球不可能落在A点，那么x＜R，所以，小球落在圆弧上速度的反向延长线不可能超过OA中点，故B正确；
CD、由几何关系可得：x²+y²=R²，即$（{v}_{0}\sqrt{\frac{2y}{g}}）^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$，所以，${{v}_{0}}^{2}•\frac{2y}{g}+{y}^{2}={R}^{2}$；
那么，${v}^{2}={{v}_{0}}^{2}+2gy=\frac{{R}^{2}+3{y}^{2}}{\frac{2y}{g}}=\frac{1}{2}g（3y+\frac{{R}^{2}}{y}）$，所以，当$y=\frac{\sqrt{3}}{3}R$时，v取得最小值，即动能最小，故C错误，D正确；
故选：BD．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．