Question

6．如图所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面入射．不计粒子重力，重力加速度为g．
（1）若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求粒子速度的大小．
（2）若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力做向心力根据几何关系求得半径来求解；
（2）根据粒子运动周期求得相遇位置，然后由小球在竖直方向做自由落体运动求得抛出点纵坐标．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动只受洛伦兹力作用，故做圆周运动，洛伦兹力做向心力，即为：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$；
粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，所以，圆周运动的半径为：$R=\frac{1}{2}a$
解得：$v=\frac{BqR}{m}=\frac{Bqa}{2m}$；
（2）粒子以速度v沿y轴负方向入射，洛伦兹力做向心力，故有：$Bvq=m（\frac{2π}{T}）^{2}R=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：$T=\frac{2πm}{qB}$
$R=\frac{mv}{qB}$；
所以，经过时间t后，粒子转过$\frac{5}{6}π$，粒子和小球的相遇位置为：$（\frac{1}{2}R，\frac{\sqrt{3}}{2}R）$=$（\frac{mv}{2qB}，\frac{\sqrt{3}mv}{qB}）$；
小球水平抛出后只受重力作用，做平抛运动，故设小球抛出点的纵坐标为y，则有：$y-\frac{\sqrt{3}mv}{qB}=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{25{π}^{2}{m}^{2}g}{72{q}^{2}{B}^{2}}$；
解得：$y=\frac{\sqrt{3}mv}{qB}+\frac{25{π}^{2}{m}^{2}g}{72{q}^{2}{B}^{2}}$；
答：（1）若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，则粒子速度的大小为$\frac{Bqa}{2m}$．
（2）若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，那么小球抛出点的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}mv}{qB}+\frac{25{π}^{2}{m}^{2}g}{72{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．