Question

11．如图所示是一宽度D长条形区域（高度足够长），在虚线区域内同时存在竖直方向的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场．一束完全相同的带电粒子（重力不计）以某一水平初速度从O点垂直左边界射入该区域，第一次电场和磁场同时存在，粒子恰好做直线运动．若撤去条形区域内的磁场仅保留竖直方向的电场，仍以原来的初速度水平入射．粒子速穿过电场到达另一边界时在竖直方向偏转了H．若撤去条形区域内电场仅保留磁场，仍以相同的速度入射．求：
（1）当D=8cm，H=3.2cm，粒子束在磁场里运动，其竖直方向的偏移量？
（2）若条形区域宽度为D，撤去磁场仅留电场时，粒子在竖直方向的偏转量为H，则撤去电场仅留磁场时在竖直方向的偏转量又是多少？

Answer 1

分析 （1）由电场和磁场共同作用时受力平衡，根据撤去磁场时做类平抛运动的偏转量求得撤去电场时的做圆周运动的半径，进而根据几何关系求得偏移量；
（2）根据半径表达式，由半径和D的关系得到粒子出射边，进而由几何关系求得偏转量．

解答 解：设粒子入射速度为v，磁场、电场同时存在时，粒子做直线运动，所以，粒子速度不变，粒子受力平衡，即Bvq=qE；
撤去磁场后，粒子只受电场力作用，做类平抛运动，所以，由水平方向运动可得：D=vt，故运动时间$t=\frac{D}{v}$，那么偏转量$H=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}=\frac{qE{D}^{2}}{2m{v}^{2}}$；
撤去电场后，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}^{2}}{qE}=\frac{{D}^{2}}{2H}$；
（1）当D=8cm，H=3.2cm，粒子束在磁场里运动的半径$R=\frac{{D}^{2}}{2H}=20cm$，故由几何关系可知偏移量$y=R-\sqrt{{R}^{2}-{D}^{2}}=20-4\sqrt{21}（cm）=1.7cm$；
（2）若条形区域宽度为D，撤去磁场仅留电场时，粒子在竖直方向的偏转量为H，则撤去电场仅留磁场时；
当$R=\frac{{D}^{2}}{2H}＜D$，即$H＞\frac{1}{2}D$时，粒子从左侧离开磁场，偏离量${y}_{1}=2R=\frac{{D}^{2}}{H}$；
当$R=\frac{{D}^{2}}{2H}≥D$，即$H≤\frac{1}{2}D$时，粒子从右侧离开磁场，偏转量${y}^{2}=R-\sqrt{{R}^{2}-{D}^{2}}=\frac{{D}^{2}}{2H}[1-\sqrt{1-（\frac{2H}{D}）^{2}}]$；
答：（1）当D=8cm，H=3.2cm，粒子束在磁场里运动，其竖直方向的偏移量为1.7cm；
（2）若条形区域宽度为D，撤去磁场仅留电场时，粒子在竖直方向的偏转量为H，则撤去电场仅留磁场时在竖直方向的偏转量为$\frac{{D}^{2}}{2H}[1-\sqrt{1-（\frac{2H}{D}）^{2}}]$．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．