Question

12．如图所示，水平传送带由电动机带动以恒定的速度v顺时针匀速转动，某时刻一个质量为m的小物块在传送带上由静止释放，小物块与传送带间的动摩擦因数为μ，小物块在滑下传送带之前已与传送带的速度相同，对于小物块从静止释放到与传送带的速度相同这一过程中，下列说法正确的是（　　）

• A． 电动机多做的功为$\frac{1}{2}$mv²
• B． 小物块在传送带上的划痕长为$\frac{{v}^{2}}{μg}$
• C． 传送带克服摩擦力做的功为$\frac{1}{2}$mv²
• D． 电动机增加的功率为μmgv

Answer 1

分析 由于物块与传送带间有相对位移，物块对传送带做功与传送带对物块做功并不相等．系统摩擦生热等于系统克服摩擦力做的总功．物体在传送带上运动时，物体和传送带要发生相对滑动，所以电动机多做的功一部分转化成了物体的动能另一部分就是增加了相同的内能．根据牛顿第二定律和运动学公式求得物块与传送带间的相对位移，即得到划痕长度．结合功能关系分析．

解答 解：A、设物块匀加速运动的时间为t，则物块与传送带相对位移大小为：
△x=vt-$\frac{v}{2}t$=$\frac{1}{2}$vt
此过程中物块的位移为：x_物=$\frac{v}{2}t$=$\frac{1}{2}$vt
则有：△x=x_物．
物块运动过程中，只有摩擦力对它做功，根据动能定理得：摩擦力对物块做的功为：
W_f=fx_物=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0=$\frac{1}{2}$mv²．
系统摩擦生热为：Q=f•△x=fx_物=$\frac{1}{2}$mv²．
电动机多做的功转化成了物体的动能和系统的内能，所以电动机多做的功为：W_机=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+Q=mv²．故A错误．
B、物块匀加速运动的加速度为：a=$\frac{μmg}{m}$=μg
匀加速运动的时间为：t=$\frac{v}{a}$=$\frac{v}{μg}$，所以有：△x=$\frac{1}{2}$vt=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$，则物块在传送带上的划痕长为$\frac{{v}^{2}}{2μg}$，故B错误．
C、传送带克服摩擦力做功为：W_f带=μmg•vt=μmg•v•$\frac{v}{μg}$=mv²．故C错误．
D、电动机增加的功率即为克服摩擦力做功的功率，大小为：P=fv=μmgv，故D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键知道物体在传送带上发生相对运动时的运动规律，以及知道能量的转化，知道电动机多做的功等于物体动能的增加和摩擦产生的内能之和．