Question

12．如图所示，一小车置于光滑水平面上，轻质弹簧右端固定在固定挡板上，左端栓连物块b，小车质量M=3kg，AO部分粗糙且长L=2m，动摩擦因数μ=0.3，OB部分光滑．另一小物块a．放在车的最左端，和车一起以v₀=4m/s的速度向右匀速运动，车撞到固定挡板后瞬间速度变为零，但不与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内．a、b两物块视为质点质量均为m=1kg，碰撞时间极短且不粘连，碰后一起向右运动．（取g=10m/s²）求：

（1）物块a与b碰后的速度大小；
（2）当物块a最终相对小车静止时，在小车上的位置到O点的距离；
（3）小车向左加速运动的距离．

Answer 1

分析 （1）车撞到固定挡板后瞬间速度变为零，a相对于车向右运动，由动能定理可以求出物块a与b碰撞前的速度．再由动量守恒定律求得两者碰后的速度；
（2）由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出距离．
（3）在摩擦力作用下，小车向左加速运动，由动能定理求小车向左加速运动的距离．

解答 解：（1）物块a与b碰前的过程，对物块a，由动能定理得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入数据解得，a与b碰前速度：v₁=2m/s；
a、b碰撞过程系统动量守恒，以a的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₁=2mv₂
代入数据解得：碰后a、b的共同速度为：v₂=1m/s；
（2）根据能量守恒定律知，a、b向左运动，弹簧恢复原长时，a、b速度大小仍为 v₂=1m/s，a以v₂=1m/s滑上AO部分，最终a与小车有共同速度，以向左为正方向，由动量守恒定律得：
mv₂=（M+m）v₃
代入数据解得：v₃=0.25m/s，
根据能量守恒定律得
    $\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₃²+μmgs_相对．
代入数据解得：当物块a最终相对小车静止时，在小车上的位置到O点的距离  s_相对=0.125m=12.5cm
（3）设小车向左加速运动的距离为x．
在摩擦力作用下，小车向左加速运动，根据动能定理得：
μmgx=$\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$
解得：x=0.03125m=3.125cm
答：（1）物块a与b碰后的速度大小是1m/s；
（2）当物块a最终相对小车静止时，在小车上的位置到O点的距离是12.5cm；
（3）小车向左加速运动的距离是3.125cm．

点评 本题要分析清楚运动过程，确定研究的对象，明确动量守恒定律的条件及应用，灵活应用能量关系即可正确求解．