Question

5．如图所示，半径分别为R=1m，r=0.5m的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直面内，斜面与水平轨道由一小段圆弧轨道相连，两圆形轨道之间由一个水平轨道CD相连，小球与CD段间的动摩擦因数为μ=0.25，其余各段均光滑，现有一小球从光滑斜面上的A点由静止释放，那么：
（1）为了是小球能通过甲轨道的最高点，A点离水平轨道CD的高度H至少为多少？
（2）若小球以第（1）问中所求的最小高度由静止从A点滑下，要是小球能到达乙轨道的最高点而做完整的圆周运动，CD段的长度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）先由圆周运动知识求得D最高点的速度，小球从A运动甲圆形轨道过程中只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出小球经过甲圆形轨道的最高点时的位置．
（2）要满足到达乙的最高点的速度不小于$\sqrt{gr}$，由动能定理求距离．

解答 解：（1）刚好通过甲的最高点的速度要求：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$　　①
　　　　由A到甲的最高点由机械能守恒：$mg（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$　②
　　　由以上两式可得：H=$\frac{5R}{2}$=2.5m　
　　（2）设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为${v}_{2}=\sqrt{gr}$
小球刚好通过乙轨道最高点，根据动能定理得：$mg（\frac{5R}{2}-2r）-μmgx$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
　　　　得：x=$\frac{5（R-r）}{2μ}$=5m；
答：（1）为了是小球能通过甲轨道的最高点，A点离水平轨道CD的高度H至少为2.5m；
（2）CD段的长度为5m．

点评 本题综合运用了动能定理和圆周运动向心力问题，运用两规律解题时要合适地选择研究的过程进行分析求解．