Question

1．如所示，质量为m的小球用长为L的不可伸长的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP=$\frac{L}{2}$，要使小球能到达跟P点在同一竖直线的最高点B，求：
（1）小球在B点处的最小速度的大小；
（2）小球在A点处的最小速度的大小；
（3）当小球在A处具有最小速度时绳对小球的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到达最高点，速度最小，绳子拉力为零，根据牛顿第二定律求出小球在B点的最小速度．
（2）对A到B的过程运用动能定理，求出小球从A点出发时初速度v₀的大小．
（3）对小球在A点受力分析，根据牛顿第二定律求出拉力的大小．

解答 解：（1）小球恰能经过圆弧轨迹的最高点B，在B点由重力提供向心力，由牛顿第二定律有：
$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{\frac{L}{2}}$…①
解得：${v}_{B}=\sqrt{\frac{gL}{2}}$…②
（2）小球从A点运动到B点，只有重力对它做功，根据动能定理有：
$-mg（L+\frac{L}{2}）=\frac{1}{2}{{mv}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$…③
联立②、③两式解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{7gL}{2}}$…④
（3）小球刚从A点出发时，向心力来自重力和绳子拉力的合力，即：
$F-mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{L}$…⑤
联立④、⑤两式解得绳子拉力：$F=\frac{9}{2}mg$
答：（1）小球在B点处的最小速度的大小为$\sqrt{\frac{gL}{2}}$；
（2）小球在A点处的最小速度的大小为$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$；
（3）当小球在A处具有最小速度时绳对小球的拉力大小为$\frac{9}{2}mg$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合，知道恰好到达最高点的临界情况，即拉力为零，重力提供向心力．