Question

18．有两个质量为m的均处于基态的氢原子A、B，A静止，B以速度v₀与之发生正碰．碰撞过程损失的动能可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能级态跃迁，并发出光子．己知氢原子的基态能量为E₁，激发态n的能量${E_n}=\frac{E_1}{n^2}$（n为量子数）．若两氢原子发生完全非弹性碰撞，则两原子碰撞后的速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$；如碰后此氢原子只发出一个光子，则速度v₀的最小值为$\sqrt{\frac{-3{E}_{1}}{m}}$．

Answer 1

分析 由轨道能级表达式，得出跃迁时释放的能量，并根据动量与能量守恒定律，结合数学知识，同时由v₀达到最小值v_0min，此时v_A=v_B，即可求解．

解答 解：若两氢原子发生完全非弹性碰撞，则两原子碰撞后的速度相同，取开始时原子的运动方向为正方向，则：mv₀=mv+mv
所以：v=$\frac{1}{2}{v}_{0}$
为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是n=2的第一激发态．已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比．${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$…①
n=2的第一激发态的能量为${E}_{2}=\frac{{E}_{1}}{{2}^{2}}$…②
为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为E_内=E₂-E₁…③
这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即hν=E_内…④
式中ν为光子的频率，从开始碰到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有mv₀=mv_A+mv_B+光子的动量…⑤
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m（v_A^2+v_B^2）+hν$…⑥
光子的动量${p_ν}=\frac{hν}{c}$．由⑥式可推得$m{v_0}＞\frac{2hν}{v_0}$，
因为v₀＜＜c，所以$m{v_0}＞＞\frac{hν}{c}$，
故⑤式中光子的动量与mv₀相比较可忽略不计，⑤式变为mv₀=mv_A+mv_B=m（v_A+v_B）…⑦
符合⑥⑦两式的v₀的最小值可推求如下：
由⑥式及⑦式可推得：
$\begin{array}{l}\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m{（v_A^{\;}+v_B^{\;}）^2}-m{v_A}{v_B}+hν\\ \;\;\;\;\;{\;}_{\;}=\frac{1}{2}mv_0^2-m{v_A}（{v_0}-{v_A}）+hν\end{array}$
且$mv_A^2-m{v_A}{v_0}+hν=0$
经配方得$m{（{{v_A}-\frac{1}{2}{v_0}}）^2}-\frac{1}{4}mv_0^2+hν=0$
$\frac{1}{4}mv_0^2=hν+m{（{{v_A}-\frac{1}{2}{v_0}}）^2}$…⑧
由（8）式可看出，当${v_A}=\frac{1}{2}{v_0}$时，v₀达到最小值v_0min，此时v_A=v_B…⑨
v_omin=2$\sqrt{\frac{hγ}{m}}$…⑩
代入有关数据得：${v}_{0min}=\sqrt{\frac{-3{E}_{1}}{m}}$
故答案为：$\frac{v_0}{2}，\sqrt{\frac{{-3{E_1}}}{m}}$

点评 考查轨道能级表达式的应用，注意动量与能量守恒定律的巧用，当心数学运算的正确性，同时掌握什么情况下，速度达到最小，是解题的关键．