Question

3．如图所示，在光滑的平台上有一轻弹簧，其左端固定不动，右端位于P点时轻弹簧处于原长状态．现用一质量为1kg可视为质点的小物块向左将弹簧压缩至右端位于Q点，然后由静止释放，小物块从A点以4m/s的速度离开平台，在平台的右侧有一固定在竖直平面内的圆弧轨道BC，圆弧的半径为4m，圆心角θ=37°．在圆弧轨道的右侧有一质量为2kg的长木板静止在光滑的水平面上，长木板的左端挨着圆弧轨道，其上表面与过圆弧轨道C点的切线平齐．小物块离开平台后恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道运动，从B到C的过程中小物块克服摩擦力做功2.5J．小物块离开C点后滑上长木板的左端继续运动，已知小物块和长木板间的动摩擦因数为0.2，g取10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小物块在Q点时弹簧具有的弹性势能；
（2）小物块运动到C点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不从长木板上掉下来，长木板的最小长度．

Answer 1

分析 （1）由在平台上运动，小物块和弹簧机械能守恒求解；
（2）通过几何关系及平抛运动速度规律求得在B点的速度，然后通过动能定理求得在C点的速度，即可由牛顿第二定律求得支持力，然后由牛顿第三定律求得压力；
（3）通过匀变速运动规律或动量守恒求得共同速度，然后通过能量守恒求得摩擦产热，即可求得先对位移即长木板的最小长度．

解答 解：（1）小物块在水平台面上运动时只有弹簧弹力做功，故机械能守恒，则有：在Q点时弹簧具有的弹性势能${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=8J$；
（2）小物块从A到B做平抛运动，故速度的水平分量不变，那么，小物块沿B点的切线方向进入圆弧轨道运动，故有${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{cosθ}=5m/s$；
又有小物块从B到C只有重力、摩擦力做功，故由动能定理有$mgR（1-cosθ）+{W}_{f}=5.5J=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，v_C=6m/s；
那么在C点对小物块应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=19N$，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可知，小物块对轨道的压力为19N，方向竖直向下；
（3）小物块滑上长木板后向右匀减速运动，长木板向右匀加速运动；要使小物块不从长木板上掉下来，则长木板的最小长度大于小物块和长木板达到相同速度前的相对位移；
小物块和长木板之间的摩擦力f=μmg=2N，那么，小物块的加速度${a}_{1}=2m/{s}^{2}$，长木板的加速度${a}_{2}=1m/{s}^{2}$；
设二者经过t时间达到共同速度v，则v=v_C-a₁t=a₂t，所以，t=2s，v=2 m/s；
故由能量守恒可得：摩擦产热$Q=f{s}_{相对}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=12J$，所以，s_相对=6m；
故要使小物块不从长木板上掉下来，长木板的最小长度为6m；
答：（1）小物块在Q点时弹簧具有的弹性势能为8J；
（2）小物块运动到C点时对轨道的压力为19N，方向竖直向下；
（3）要使小物块不从长木板上掉下来，长木板的最小长度为6m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．