题目内容
9．
如图，矩形单匝导线框abcd的质量为m，电阻为R，其ab边长L1、bc边长L2，开始时线框静止于竖直平面内且ab边水平，线框下方一定距离处的一矩形区域内存在方向垂直于线框平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场上、下边界均与线框ab边平行（磁场区域内的高度大于L2），现将线框由静止起释放，设线框下落过程中ab边与磁场边界始终平行且方向水平，已知ab边刚进入磁场和刚穿出磁场时，线框都作减速直线运动，加速度大小均为$\frac{g}{4}$，而cd边出磁场前瞬间，线框加速度恰好为零，不计空气阻力，重力加速度为g．求：（1）在线框进入磁场过程中，通过线框导线某一截面的电量q；
（2）在cd边刚进入磁场时，线框速度大小v；
（3）线框穿越磁场区域过程中，线框所产生的热量Q；
（4）磁场区域的高度H；
（5）线框从开始下落到离开磁场过程所经历的时间t．
分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义式求解电量q．
（2）根据线框进入和穿出磁场过程的相似性知道，cd边进磁场瞬间加速度为零，由安培力与速度的关系及平衡条件求线框的速度大小v．
（3）根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系式，求出线框刚进入磁场时的速度，再由能量守恒定律求热量Q．
（4）线框完全在磁场中运动时不产生感应电流，不受安培力，遵守机械能守恒，由机械能守恒定律求H．
（5）研究线框进入磁场的过程，由牛顿第二定律和加速度的定义式，运用积分法求时间．由匀变速直线运动的位移时间公式求出线框从cd边刚磁场到ab边刚出磁场的时间．从而可求得总时间．
解答 解：（1）在线框进入磁场过程中，通过线框导线某一截面的电量 q=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{B{L}_{1}\overline{v}t}{R}$=$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$
（2）根据线框进入和穿出磁场过程的相似性知道，cd边进磁场瞬间加速度为零，则有
mg=F安；
又安培力 F安=BIL1=B$\frac{B{L}_{1}v}{R}$L1=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}v}{R}$
联立解得 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
（3）设线框刚进入磁场时的速度为v0．
根据牛顿第二定律得：$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$-mg=ma=m$•\frac{g}{4}$
解得 v0=$\frac{5mgR}{4{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
线框穿越磁场区域过程中，根据能量守恒定律得
Q=2×[（$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$）+mgL1]=$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2mgL1
（4）对于线框完全在磁场中运动的过程，由运动学公式有
v02-v2=2g（H-2L2）
解得 H=$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2L2．
（5）线框自由下落的时间 t1=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{5mR}{4{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
研究线框进入磁场的过程，由牛顿第二定律得
$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$-mg=ma=m$\frac{△v}{△t}$
即 $\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$△t-mg△t=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$△t）-$\sum_{\;}^{\;}$（mg△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
可得 $\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}{R}$•L2-mgt2=m（v0-v）
解得线框进入磁场的时间 t2=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{mgR}$-$\frac{mR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
线框从cd边刚磁场到ab边刚出磁场的时间设为t3．
则 t3=$\frac{{v}_{0}-v}{g}$=$\frac{mR}{4{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
故线框从开始下落到离开磁场过程所经历的时间 t=t1+2t2+t3=$\frac{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{mgR}$-$\frac{mR}{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$．
答：
（1）在线框进入磁场过程中，通过线框导线某一截面的电量q是$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$；
（2）在cd边刚进入磁场时，线框速度大小v是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$；
（3）线框穿越磁场区域过程中，线框所产生的热量Q是$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2mgL1；
（4）磁场区域的高度H是$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2L2；
（5）线框从开始下落到离开磁场过程所经历的时间t是$\frac{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{mgR}$-$\frac{mR}{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$．
点评 本题要分析清楚线框的运动过程，熟练推导出电量和安培力的表达式，运用牛顿第二定律和加速度的定义式求线框进入磁场的时间是关键．
磁场有强弱，磁极附近的磁场总比其他位置的磁场强．磁场强弱处处相同的磁场叫做匀强磁场，磁场强度的单位是特斯拉，简称特．符号T．通电导体在磁场中受到力的作用，这个力叫做安培力，安培力的大小不仅与磁场强度大小有关，还与电流大小有关．实验表明在匀强磁场中，当通电导体与磁场方向垂直时，电流所受的安培力F等于磁场强度B、电流I和导线长度L三者的乘积，即F=BIL．
如图所示，一质点在x轴上以O为平衡位置做简谐运动，其振幅为8cm，周期为4s．t=0时物体在x=4cm处，向x轴负方向运动，则（ ）| A． | 质点在t=1．Os时所处的位置为x=+4$\sqrt{3}$cm | |
| B． | 质点在t=1．Os时所处的位置为x=-4$\sqrt{3}$cm | |
| C． | 由起始位置运动到x=-4cm处所需的最短时间为$\frac{2}{3}$s | |
| D． | 由起始位罝运动到x=-4cm处所需的最短时间为$\frac{1}{6}$s |
如图a所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接），初始时物体处于静止状态．现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x之间的关系如图b所示（g=10m/s2），则下列结论正确的是（ ）| A． | 物体的质量为3kg | B． | 物体的加速度大小为5m/s2 | ||
| C． | 弹簧的劲度系数为7.5N/cm | D． | 物体与弹簧分离时动能为0.4J |
某探究学习小组的同学欲验证“动能定理”，他们在实验室组装了一套如图所示的装置．若你是小组中的一位成员，要完成该项实验，则：
图甲是一个单摆振动的情形，图乙是这个单摆的振动图象．若当地的重力加速度为g=π2 m/s2，则这个摆的摆长为0.16米．
一种“傻瓜”相机的曝光时间是固定不变的．为了估测相机的曝光时间，有位同学提出了下述实验方案：他从墙面前某点，使一个小石子自由落下，对小石子照相，得到如图的照片，由于小石子的运动，它在照片上留下一条模糊的径迹AB，已知每块砖的平均厚度约为6cm，且下落起点到A点距离竖直距离约1.8m，从这些信息估算该相机的曝光时间最接近于（ ）