Question

3．如图所示，OMN是放置在水平面上一半径为R的$\frac{1}{4}$球体玻璃砖，其折射率为$\sqrt{3}$．
①图中玻璃砖右侧有一束从球心O开始的单色平行光垂直于MO从空气射入玻璃砖，已知单色光宽度等于$\frac{R}{2}$，求光束中的光线射出玻璃砖时最大的折射角；
②图中玻璃砖左侧有一细束光水平射到球体表面MN，经折射后从OM边射出的光线出射角为60°，求入射光线与桌面的距离．

Answer 1

分析 ①根据折射定律可知，入射角最大时折射角最大，由几何知识求出最大的入射角，再由折射定律求出最大的折射角．
②当光从图示位置射入，经过二次折射后射出球体，画出光路图，由折射定律可求出射出光线的入射角，再由几何知识得到光线进入玻璃砖的折射角，由折射定律求出光线进入玻璃砖时的入射角，即可由几何知识求出入射光线与桌面的距离．

解答 解：①由介质到空气的折射定律公式 $\frac{sini}{sinγ}$=$\frac{1}{n}$可知，从玻璃到空气的入射角越大，则出射时的折射角也越大，如图甲所示，光束上边界光线的入射角最大，由几何知识可得，其值为 i=30°
所以 sinγ=nsini=$\sqrt{3}$×sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即最大的折射角为60°．
②设入射光线与$\frac{1}{4}$球体的交点为C，连接OC，OC即为入射点的法线．如图乙所示．图中的角α为入射角．
过C点作球体水平表面的垂线，垂足为B．依题意，∠COB=α．设光线在C点的折射角为β，由折射定律得：
 $\frac{sinγ}{sinθ}$=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
因θ=60°，则得 γ=30°
由折射定律得：$\frac{sinα}{sinβ}$=n，其中 β=α-30°
联立解得 sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由直角三角形的边角关系可得：BC=Rsinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
答：
①光束中的光线射出玻璃砖时最大的折射角是60°．
②入射光线与桌面的距离是$\frac{\sqrt{3}}{2}$R．

点评 光线从球体入射时，法线是入射点与球心的连线；当光线射出时，法线与界面垂直．要画出光路图，运用几何知识和折射定律结合进行研究．