Question

3．如图所示，xOy坐标系中，仅在0≤x≤l范围内有沿y轴正方向的匀强电场．质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从坐标原点O以速度v₀沿x轴正向进入电场，从P（l，$\frac{3l}{8}$）点离开电场，沿直线到达Q点．已知Q点横坐标x_Q=3l，取O点电势φO=0，不计粒子重力，求：
（i）P点的电势φ_P；
（ii）Q点的纵坐标y_Q．

Answer 1

分析 （1）粒子进入电场后做类平抛运动，结合P点的横坐标和初速度求出类平抛运动的时间，结合P点的纵坐标，结合牛顿第二定律求出电场强度的大小，从而得出OP间的电势差，得出P点的电势．
（2）根据类平抛运动的规律求出粒子离开P点的速度方向，从而结合几何关系求出Q点的纵坐标．

解答 解：（1）设粒子在电场中运动的加速度为a，时间为t，由牛顿第二定律得：
Eq=ma①
由运动学公式得：
$l={v}_{0}^{\;}t$②
$\frac{3}{8}l=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$③
又${φ}_{O}^{\;}-{φ}_{P}^{\;}=E•{y}_{P}^{\;}$④
解得${φ}_{P}^{\;}=-\frac{9m{v}_{0}^{2}}{32q}$⑤
（2）设在P点粒子速度方向与水平方向夹角为α，设y轴正方向的分速度大小为${v}_{y}^{\;}$，则有$tanα=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$⑥
${v}_{y}^{\;}=at$⑦
粒子射出电场后，有$tanα=\frac{{y}_{Q}^{\;}-{y}_{P}^{\;}}{{x}_{Q}^{\;}-l}$⑧
解得：${y}_{Q}^{\;}=\frac{9}{8}l$⑨
答：（i）P点的电势${φ}_{P}^{\;}$为$-\frac{9m{v}_{0}^{2}}{32q}$；
（ii）Q点的纵坐标${y}_{Q}^{\;}$为$\frac{9}{8}l$

点评 解决本题的关键掌握处理类平抛运动的方法：运动的合成和分解法，在垂直电场方向上做匀速直线运动，沿电场方向上做匀加速直线运动，结合运动学公式和牛顿第二定律综合求解．