Question

18．如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切与B点，右端与一倾角为θ=30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接，物体经过C点时速率不变．斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为m=2kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点．已知光滑圆轨道的半径R=5.0m，水平轨道BC长L=3.0m，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，光滑斜面轨道上CD长s=3.0m，取g=10m/s²，求：
（1）滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小；
（2）整个过程中弹簧具有的最大弹性势能；
（3）物体最后停止的位置距B点多远处．

Answer 1

分析 （1）对AB运动过程应用机械能守恒求得在B点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）对A到D的运动过程应用动能定理求解；
（3）对整个运动过程应用动能定理求得在BC上滑动的总路程，然后根据几何关系及运动过程求得最终位置．

解答 解：（1）滑块从A点到B点的运动过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
对滑块在B点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=2mg$，
那么由牛顿第三定律可得：滑块第一次经过B点时对轨道的压力为：F_N′=F_N=3mg=60N，方向竖直向下；
（2）滑块在BC上滑动，摩擦力做负功，故滑块从A点到D点时，弹簧弹力最大，由动能定理可得：弹簧具有的最大弹性势能为：E_p=mg（R-ssin30°）-μmgL=40J；
（3）对滑块进行受力分析可知：滑块最终停止在水平轨道BC上；
设滑块在BC上通过的总路程为S，从开始到最终停下来的全过程，由动能定理可得：mgR-μmgS=0
解得：$S=\frac{R}{μ}=10m$=3L+1m；
故最后停在离B点为L-1m=2m处；
答：（1）滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小为60N；
（2）整个过程中弹簧具有的最大弹性势能为40J；
（3）物体最后停止的位置距B点2m远处．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．