Question

3．如图所示，一半径R=0.8m的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一小桶（可视为质点），在圆盘直径DE的正上方平行放置一水平滑道BC，已知滑块与滑道BC间的动摩擦因数μ=0.5．滑道右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，且竖直高度h=0.8m．AB为一竖直面内的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，半径r=0.45m，且与水平滑道相切与B点．一质量m=0.2kg的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，当滑块经过B点时对B点压力为6N．物块滑过BC段后由C点水平抛出，此时，圆盘从图示位置以一定的角速度ω绕通过圆心的竖直轴开始匀速转动，最终物块恰好落入圆盘边缘的小桶内．（取g=10m/s²）求：
（1）滑块到达B点时的速度；
（2）滑块在AB段克服摩擦力所做的功
（3）水平滑道BC的长度；
（4）圆盘转动的角速度应ω满足的条件．

Answer 1

分析 （1）滑块在B点时，由指向圆心的合力充当向心力，根据牛顿第二定律求得滑块到达B点时的速度．
（2）滑块从A到B的过程，由动能定理求克服摩擦力所做的功．
（3）滑块离开C后做平抛运动，要恰好落入圆盘边缘的小桶内，水平位移大小等于圆盘的半径R，根据平抛运动的规律求得滑块经过C点的速度，根据动能定理研究BC过程，从而求得BC的长度；
（4）滑块从C运动到小桶的总时间等于圆盘转动的时间，根据周期性求解ω应满足的条件．

解答 解：（1）在B点，根据牛顿第二定律可得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
据题得 F_N=4N
代入数据解得：v_B=3m/s    
（2）滑块从A到B的过程，由动能定理得
   mgr-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得克服摩擦力所做的功  W_f=0
（3）滑块离开C后做平抛运动，有：h=$\frac{1}{2}$gt²．
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s
滑块经过C点的速度为：v_C=$\frac{R}{t}$=$\frac{0.8}{0.4}$m/s=2m/s
滑块由B点到C点的过程中，由动能定理得：-μmgL_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：L_BC=0.5m
（4）圆盘转动的角速度ω应满足条件：t=nT=n$\frac{2π}{ω}$
则ω=$\frac{2nπ}{t}$=5nπ rad/s （n=1、2、3 …） 
答：
（1）滑块到达B点时的速度为3m/s；
（2）滑块在AB段克服摩擦力所做的功为0；
（3）水平滑道BC的长度为0.5m；
（4）圆盘转动的角速度应ω满足的条件为5nT （n=1、2、3…）．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律和平抛运动，关键是抓住圆盘与滑块运动的同时性，把握圆周运动的周期性．