Question

7．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，将一个小球从距月球表面高度h处自由释放，测得小球从静止落到月球上的时间为t，不计阻力．已知月球半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）月球的质量M_月；
（2）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度；
（3）当着陆器绕距月球表面高H的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的知识求出月球表面的重力加速度．根据万有引力等于重力求出月球的质量．
（2）以最小速度发射的卫星将贴着月球的表面运行，轨道半径等于月球的半径．根据万有引力提供向心力求出最小的发射速度．
（3）根据万有引力提供向心力求着陆器环绕月球运动的周期

解答 解：（1）设月球表面的重力加速度为g，由自由落体运动可得：h=$\frac{1}{2}$gt²
得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，有：$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：${M}_{月}^{\;}=\frac{2{R}_{\;}^{2}h}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）卫星绕月球表面运行，有：$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
联立得：$v=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
（3）由牛顿第二定律有：$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{（R+H）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+H）$
联立得：$T=\frac{πt（R+H）}{R}\sqrt{\frac{2（R+H）}{h}}$
答：（1）月球的质量${M}_{月}^{\;}$为$\frac{2{R}_{\;}^{2}h}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（3）当着陆器绕距月球表面高H的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期$\frac{πt（R+H）}{R}\sqrt{\frac{2（R+H）}{h}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及万有引力提供做卫星做圆周运动的向心力．