Question

8．如图所示，在坐标系xOy的第一象限里有平行于x轴沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E．在第四象限里有一圆形有界磁场，磁场的边界刚好与x，y轴相切于A，B两点，磁场的方向垂直于纸面向里，有界磁场的边界为r，磁感应强度大小为B．在B点有一粒子源，可以向磁场内沿垂直磁场方向射入速度大小相同的同种带正电的粒子，其中一沿BO′方向射入磁场的粒子经磁场偏转刚好从A点射入电场，恰好打在y轴上的（0，b）点，求：
（1）该粒子的比荷和粒子射入磁场的速度大小；
（2）若将该粒子沿与y轴负向60°射入磁场，则该粒子能打在y轴上的什么位置？

Answer 1

分析 （1）根据题意作出粒子运动轨迹，求出粒子的轨道半径，然后由牛顿第二类求出粒子的比荷，求出粒子的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，作出粒子运动轨迹，应用类平抛运动规律、几何知识求出粒子打在y轴上的坐标值．

解答 解：（1）由题意可知，粒子沿BO′方向射入磁场，刚好从A点射入电场，恰好打在y轴上的（0，b）点，粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R=r，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
在电场中做类平抛运动，
水平方向：r=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
竖直方向：b=vt，
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{E{b}^{2}}{2{B}^{2}{r}^{3}}$，
v=$\frac{E{b}^{2}}{2B{r}^{2}}$；
（2）将该粒子沿与y轴负向60°射入磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由于粒子轨道半径R=r，则四边形BO′CO₁是菱形，由几何知识可得：
∠CO′D=60°，∠O′CD=30°，
则：∠O′DC=90°，
则粒子离开磁场后垂直射入电场，粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识可得：BD=r+rcos∠CO′D=r+rcos60°=$\frac{3}{2}$r，
粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：$\frac{3}{2}$r=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
竖直方向：y=vt，
解得：y=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b；
答：（1）该粒子的比荷为$\frac{E{b}^{2}}{2{B}^{2}{r}^{3}}$，粒子射入磁场的速度大小为$\frac{E{b}^{2}}{2B{r}^{2}}$；
（2）若将该粒子沿与y轴负向60°射入磁场，该粒子能打在y轴上位置坐标为（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$b）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律、类平抛运动规律即可正确解题，作出粒子运动轨迹、正确应用几何知识是正确解题的关键．