题目内容

3.如图所示,某行星绕太阳公转的运动轨道为椭圆,其近日点A和远日点B离太阳的距离分别为rA和rB.已知太阳质量为M,引力常量为G.(取无穷远处为零势能点时,两质量分别为m1、m2天体间的引力势能表达式为Ep=-G$\frac{{{m_1}{m_2}}}{r}$,其中r为两天体中心间的距离.)
(1)请结合开普勒第三定律求出该行星轨道半长轴a的三次方与它的公转周期T的平方的比值.
(2)请结合开普勒第二定律求出该行星在近日点A点的速度大小.

分析 根据万有引力提供向心力推导
根据开普勒第二定律:行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,取极短时间△t,根据“面积”相等列方程得出远日点时与近日点时的速度比值求解

解答 解:(1)根据开普勒第三定律,所有行星轨道半长轴a的三次方与它的公转周期T的平方的比值相等.                                                           
对于轨道半径为a的圆轨道,根据牛顿第二定律,有$G\frac{Mm}{a^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}a$
可得$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{{4{π^2}}}$
所以该行星轨道半长轴a的三次方与它的公转周期T的平方的比值也为$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{{4{π^2}}}$
(2)根据开普勒第二定律,行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,取极短时间△t,根据“面积”相等,由$\frac{1}{2}{v}_{A}{r}_{A}△t=\frac{1}{2}{v}_{B}{r}_{B}△t$
根据机械能守恒有$\frac{1}{2}mv_A^2-G\frac{Mm}{r_A}=\frac{1}{2}mv_B^2-G\frac{Mm}{r_B}$
联立以上二式,解得${v_A}=\sqrt{\frac{{2GM{r_B}}}{{{r_A}({r_A}+{r_B})}}}$
答:(1)如上
(2)该行星在近日点A点的速度大小$\sqrt{\frac{2GM{r}_{B}}{{r}_{A}({r}_{A}+{r}_{B})}}$

点评 本题考查对开普勒第二定律的理解和应用能力.在极短时间内,行星与太阳连线扫过的范围近似为三角形

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