Question

20．一长为L的水平传送带沿逆时针方向转动，其转动速度v满足$\sqrt{\frac{gL}{4}}$≤v≤2$\sqrt{gL}$，传送带的最右端与一摩擦可忽略不计的水平导轨相切，在水平导轨的某位置有一竖直的挡板，如图所示．现有一可以视为质点的质量为m的物块以水平向右的初速度v₀=$\sqrt{2gL}$从传送带的最左端冲上传送带，物块经过一段时间滑上水平导轨与竖直挡板发生碰撞，碰后物块的速度反向、大小变为碰前的$\frac{1}{2}$．已知物块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度为g．求：
（1）物块与挡板碰撞时的速度大小．
（2）物块与挡板碰撞后的运动过程中，物块对传送带的相对位移△x大小．

Answer 1

分析 （1）与挡板碰撞时的速度就是物块离开传送带时的速度，先要知道物块在传送带上的运动状态，根据它的运动状态用运动学公式，对离开传送带时的速度求解；
（2）物块与挡板碰撞后的运动过程中，物块对传送带的相对位移△x大小与传送带的速度有关，由于传送带的速度是一个范围值，所以解出来的相对位移应该也是一个范围；要讨论在传送带上的运动状态，然后根据运动学公式来求相对位移．

解答 解：（1）设物块以v₀在带上做匀减速运动直到停止的位移为x，则${v}_{0}^{2}$=2ax…①
由ma=μmg…②
联立①②得x=2L＞L，故物块一直在传送带上做匀减速运动直到离开传送带，
设离开传送带时的速度为v₁，即物块与挡板碰撞时的速度，
则${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2aL…③
联立②③得v₁=$\sqrt{gL}$
（2）I、当v=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$时，物块相对于传送带静止，△x=0…④
Ⅱ、当$\frac{\sqrt{gL}}{4}$$≤v＜\frac{\sqrt{gL}}{2}$时，物块在传送带上减速，设减速到传送带左端的速度为v′，则（$\frac{{v}_{1}}{2}$）²-v′²=2aL…⑤
得v′²＜0，故不成立，应该是减速到与传送带共速后匀速直线运动，
设经过t与传送带共速，则$\frac{{v}_{1}}{2}$-v=at…⑥
此时的位移△x=$\frac{\frac{{v}_{1}}{2}+v}{2}-vt$…⑦
联立②⑥⑦解得，0＜△x≤$\frac{L}{16}$．
Ⅲ、当v＞$\frac{\sqrt{gL}}{2}$时，物块在传送带上加速，若一直加速，设物块运动到传送带左端的速度为v″，
则v″²-（$\frac{{v}_{1}}{2}$）²=2aL…⑧
解得v″=$\frac{\sqrt{5gL}}{2}$
若$\frac{\sqrt{5gL}}{2}$$≤v≤2\sqrt{gL}$，物块一直加速，则v″-$\frac{{v}_{1}}{2}$=at′…⑨
此时相对位移△x=vt′-L…⑩
联立②⑨⑩解得，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}L≤△x≤（2\sqrt{5}-3）L$
若$\frac{\sqrt{gL}}{2}$$＜v＜\frac{\sqrt{5gL}}{2}$，则物块加速到与传送带共速后匀速，
则v-$\frac{{v}_{1}}{2}$=at″…⑪
△x=vt″-$\frac{v+\frac{{v}_{1}}{2}}{2}$t″…⑫
联立②⑪⑫解得，0$＜△x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}L$
答：（1）物块与挡板碰撞时的速度大小为$\sqrt{gL}$，
（2）物块与挡板碰撞后的运动过程中，当传送速度v=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$时，物块相对于传送带静止，△x=0；
当$\frac{\sqrt{gL}}{4}$$≤v＜\frac{\sqrt{gL}}{2}$时，0＜△x≤$\frac{L}{16}$；
当v＞$\frac{\sqrt{gL}}{2}$时，$0＜△x≤（2\sqrt{5}-3）L$．

点评 本题考查牛顿第二定律运用和物体运动状态的讨论，通过对运动状态的分析利用运动学公式解题，做题的过程中一定要思路清晰，知道要分哪几种情况讨论是解题的关键．