Question

12．如图所示，在空间建立O-xyz坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，垂直纸面向外为z轴的正方向（图中未画出）．一个放射源放在x轴上A点（-2$\sqrt{3}$，0，0），它能持续放出质量为m，带电量为+q，速度大小为v₀的粒子，粒子射出方向与x轴夹角可调节，在第二象限区域外加场的作用下，粒子射出后总由y轴上C点（0，3a，0）以垂直于y轴的方向射入第一象限．而在y轴右侧相距为a处有与x轴垂直的足够大光屏PQ，y轴和光屏PQ间同时存在垂直纸面向外、大小为E₀的匀强电场以及大小为E=$\frac{m{v}_{0}}{2qa}$的匀强磁场，不计粒子的重力．
（1）若在第二象限整个区域仅存在沿-y轴方向的匀强电场，求该电场的场强E；
（2）若在第二象限整个区域仅存在垂直纸面的匀强磁场，求磁感应强度B；
（3）在上述两种情况下，粒子最终打在光屏上的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）根据运动的合成与分解知识、运动学公式求出电场强度；
（2）由几何知识求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律求出磁感应强度；
（3）求出粒子的速度，求出粒子在磁场中的运动时间，然后由匀变速运动的位移公式求出在z轴方向的位移；

解答 （1）设粒子射出时速度方向与x轴正方向夹角为θ，则有，$tanθ=2tanα=2×\frac{3a}{{2\sqrt{3}a}}=\sqrt{3}$，
所以θ=60°         
${v_y}={v_0}sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}{v_0}}}{2}$，$2×\frac{qE}{m}×3a=v_y^2$，
所以$E=\frac{mv_0^2}{8qa}$
（2）设粒子在第二象限磁场中做匀速圆周运动的半径为R，
则$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}$，${R^2}={（{2\sqrt{3}a}）^2}+{（{R-3a}）^2}$，
得R=3.5a，$B=\frac{{2m{v_0}}}{7qa}$
（3）在第一种情况下，粒子进入第一象限的速度为v₁，v₁=v₀cos60°=$\frac{v_0}{2}$
在磁场B₀中做匀速圆周运动的半径${R_1}=\frac{{m{v_1}}}{{qB{\;}_0}}=a$
从进入第一象限到打到光屏上的时间为${t_1}=\frac{T}{4}=\frac{πa}{v_0}$

粒子在z轴方向上做初速度为0的匀加速直线运动，在t₁时间内沿z轴方向通过的距离${z_1}=\frac{1}{2}\frac{{q{E_0}}}{m}t_1^2=\frac{{q{E_0}{π^2}{a^2}}}{2mv_0^2}$，
则粒子在光屏上的位置坐标为$（{{a_{\;}}，2{a_{\;}}，\frac{{q{E_0}{π^2}{a^2}}}{2mv_0^2}}）$
在第二种情况下，粒子进入第一象限的速度为v₂，v₂=v₀
在磁场B₀中做匀速圆周运动的半径${R_2}=\frac{{m{v_2}}}{{qB{\;}_0}}=2a$
从进入第一象限到打到光屏上的时间为${t_2}=\frac{T}{12}=\frac{πa}{{3{v_0}}}$
粒子在z轴方向上做初速度为0的匀加速直线运动，在t₂时间内沿z轴方向通过的距离${z_2}=\frac{1}{2}\frac{{q{E_0}}}{m}t_2^2=\frac{{q{E_0}{π^2}{a^2}}}{18mv_0^2}$，
则粒子在光屏上的位置坐标为$（{{a_{\;}}，（\sqrt{3}+1）{a_{\;}}，\frac{{q{E_0}{π^2}{a^2}}}{18mv_0^2}}）$
答：（1）若在第二象限整个区域仅存在沿-y轴方向的匀强电场，该电场的场强E为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{8qa}$；
（2）若在第二象限整个区域仅存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度B大小为$\frac{2m{v}_{0}}{7qa}$；
（3）在上述两种情况下，粒子最终打在光屏上的位置坐标为$（{{a_{\;}}，（\sqrt{3}+1）{a_{\;}}，\frac{{q{E_0}{π^2}{a^2}}}{18mv_0^2}}）$．

点评 本题考查了带电粒子在电场、磁场中的运动，运动过程较复杂，分析清楚运动过程是正确解题的关键；应用运动的合成与分解、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．