Question

4．如图光滑斜面的倾角α=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l₁=1m，bc边的边l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M=2kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh线的距离s=11.4m，（取g=10m/s²），求：
（1）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（2）ab边由静止开始运动到gh线所用的时间t（此过程M不会落地）；
（3）t时间内产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据受力平衡，与法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律与安培力大小公式，即可求解；
（2）分别对线框与重物受力分析，运用牛顿第二定律，求出加速度的大小，从而根据运动学公式可确定运动的时间，即可求解；
（3）线框进入磁场后做匀速直线运动，所以减小的重力势能转化为焦耳热．

解答 解：（1）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡Mg=T
线框abcd受力平衡：T=mgsinθ+BIl₁
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E=Bl₁v
形成的感应电流$I=\frac{E}{R}=\frac{{B{l_1}v}}{R}$
联立得：$Mg=mgsinθ+\frac{{{B^2}l_1^2v}}{R}$
解得v=6m/s
（2）线框abcd进磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．
进磁场前，对M：Mg-T=Ma
对m：T-mgsinθ=ma
联立解得：$a=\frac{Mg-mgsinθ}{M+m}=5m/{s^2}$
该阶段运动时间为：${t_1}=\frac{v}{a}=\frac{6}{5}=1.2s$
进磁场过程中，匀速运动时间：${t_2}=\frac{l_2}{v}=\frac{0.6}{6}=0.1s$
进磁场后，线框受力情况同进磁场前，所以该阶段的加速度仍为a=5m/s²
由位移公式可得：$s-{l_2}=v{t_3}+\frac{1}{2}at_3^2$
代入数据可知：$11.4-0.6=6t_3^{\;}+\frac{1}{2}•5•t_3^2$
解得：t₃=1.2s
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间t=t₁+t₂+t₃=1.2+0.1+1.2=2.5s
（3）t时间内线框先是匀加速后匀速再匀加速运动，
只有进入时线框中才产生热量，
则t时间内产生的焦耳热，Q=F_Al₂=（Mg-mgsinθ）l₂
解得：Q=9J
答：（1）线框进入磁场时匀速运动的速度6m/s；
（2）ab边由静止开始运动到gh线所用的时间2.5s；
（3）t时间内产生的焦耳热9J．

点评 本题是电磁感应与力平衡的综合，安培力的计算是关键．本题中运用的是整体法求解加速度．