Question

6．如图所示，原点O为两个大小不同的同心圆的圆心，半径为r的小圆区域Ⅰ内有方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，两圆之间的环形区域ⅡII内也有方向垂直于xoy平面的另一匀强磁场．一质量为m、电量为q、初速度为v₀的带正电粒子从坐标为（0，r）的A点沿-y方向射入区域I，然后从x轴上的P点沿+x方向射出，粒子经过区域II后从Q点第2次射入区域I，已知OQ与+x方向成60°．角．不计粒子的重力．
（1）区域I中磁感应强度B₁的大小和区域II中磁感应强度B₂的大小及方向；
（2）要使粒子约束在磁场内，大圆半径R的最小值；
（3）粒子再次回到坐标A点所经历的最短时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场Ⅰ做圆周运动，由几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度B₁的大小；
（2）在环形区域Ⅱ中，当粒子的运动轨迹与外圆相切，画出轨迹，由几何关系求解轨迹半径，再求解B₂的大小．
（3）根据粒子运动的轨迹所对应的圆心角，再求解运动周期和运动的最短时间．

解答 解：（1）设在区域Ⅰ内轨迹圆半径为：r₁=r，
粒子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）粒子在区域Ⅱ中运动轨迹如图所示，由几何关系知：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
由牛顿第二定律得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qr}$，
方向与B₁相反，即垂直xoy平面向外；
（2）由几何关系得，大圆半径R的最小值：
R=2r₂+r₂=3r₂，
解得：R=$\sqrt{3}$r；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
轨迹从A点到Q点对应圆心角：θ=90°+60°=150°，要仍从A点沿y轴负方向射入，
需满足：150n=360m，m、n属于自然数，即取最小整数m=5，n=12，
运动时间为：t=12×（$\frac{1}{4}$T₁+$\frac{2}{3}$T₂），
得：t=（6+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）$\frac{πr}{{v}_{0}}$；
答：（1）区域I中磁感应强度B₁的大小为：$\frac{m{v}_{0}}{qr}$，区域II中磁感应强度B₂的大小为：$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qr}$方向：垂直xoy平面向外；
（2）要使粒子约束在磁场内，大圆半径R的最小值为$\sqrt{3}$r；
（3）粒子再次回到坐标A点所经历的最短时间t为（6+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）$\frac{πr}{{v}_{0}}$．

点评 该题考查带电粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、粒子做圆周运动的周期公式即可解题；处理带电粒子在有界磁场中的运动问题的关键是：作出粒子运动轨迹，确定圆心、求半径与粒子转过的圆心角．