Question

9．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角放置，磁感应强度B=1.00T的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨上端M与P间连接阻值为R=0.30Ω的电阻，长L=0.40m、电阻r=0.10Ω的金属棒ab与MP等宽紧贴在导轨上，现使金属棒ab由静止开始下滑，其下滑距离与时间的关系如表所示，导轨电阻不计，g=10m/s²，求：

时间t（s）	0	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70
下滑距离x（m）	0	0.04	0.10	0.17	0.27	0.37	0.47	0.57

（1）在0-0.4s时间内，通过金属棒ab截面的电荷量q．
（2）金属棒ab的质量m．
（3）在0-0.7s时间内，整个回路产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，求出感应电动势的平均值，由电量与电流的关系式q=$\overline{I}$△t求解在0.4s时间内，通过金属棒ab截面的电荷量q．
（2）根据数据可知，匀速直线运动的时间，从而求出匀速运动的速度，结合安培力的表达式，闭合电路欧姆定律与感应电动势的表达式，即可求解金属棒的质量；
（3）根据棒在下滑过程中，克服安培力做的功等于回路的焦耳热，由能量转化与守恒定律，即可求解在0.7s时间内，整个回路产生的热量Q．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律得：
感应电动势的平均值  $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$
感应电流的平均值  $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
电荷量 q=$\overline{I}$△t=$\frac{BLx}{R+r}$
由表中数据可知  x=0.27m
联立解得 q=$\frac{1×0.4×0.27}{0.3+0.1}$C=0.27C；
（2）由表中数据可知，0.3s后棒作匀速运动的速度为：
  v=$\frac{△x}{△t}$=$\frac{0.1}{0.1}$=1m/s
由平衡条件得：mgsinθ-F=0；
安培力表达式：F=BIL；
由闭合电路欧姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$；
感应电动势为：E=BLv；
联立得，m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{（R+r）gsinθ}$=$\frac{{1}^{2}×0．{4}^{2}×1}{0.4×10×sin30°}$kg=0.08kg；
（3）棒在下滑过程中，有重力和安培力做功，克服安培力做的功等于回路的焦耳热．则：
  mgsin30°•x₇-Q=$\frac{1}{2}$mv²-0
得：Q=mgsin30°•x₇-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=0.08×10×0.57×0.5-$\frac{1}{2}$×0.08×1²=0.188J
答：（1）在0.4s时间内，通过金属棒ab截面的电荷量为0.27C．
（2）金属棒的质量为0.08kg．
（3）在0.7s时间内，整个回路产生的热量为0.188J．

点评 本题是电磁感应中的力平衡问题，关键在于推导感应电荷量和安培力的计算式．并能读懂表格反映的运动情况．