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18．已知某船在静水中的速度为v1=4m/s，现让船度过某条河，假设这条河的两岸是理想的水平线，河宽d=100m，河水中的流动速度为v2=3m/s，方向与河岸平行．试求：
（1）欲使船以最短时间过河，船头方向如何？渡河时间和位移各是多少？
（2）欲使船航行的距离最短，船头方向如何？渡河时间和位移各是多少？
（3）若船在静水中的速度为V3=2m/s，则船渡过河的最短时间是多少？最短位移是多少？船头方向是？

分析 （1）当船头与河岸方向垂直时，渡河时间最短，渡河位移是垂直河岸方向上的位移与沿河岸方向上的位移的合位移，由匀速运动的公式即可求解．
（2）因船在静水中的速度大于河水的速度，所以，当合速度垂直于和河岸时渡河位移最小，结合三角形的知识和运动学公式，即可求得船头方向、渡河时间和渡河位移．
（3）因船在静水中的速度小于河水的速度，所以船不能垂直渡河，当船头的方向垂直于合速度时，渡河位移最短，结合三角形知识和运动学公式即可得知船渡过河的最短时间，最短位移以及船头方向．

解答 解：（1）要使船以最短时间过河，船头方向垂直于河岸，这样在垂直于河岸方向上的速度最大，此情况渡河时间最短．
渡河时间为：t=$\frac{d}{{v}_{1}}$=$\frac{100}{4}$=25s
渡河位移为：x=$\sqrt{{v}_{1}^{2}{+v}_{2}^{2}}$t=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$×25=125m
（2）当船在静水中速度沿河岸方向的分量与河水的速度大小相等方向相反时，渡河位移最小，如图1所示，设船速与岸的夹角为θ，则有：
v1cosθ=v2
及：cosθ=0.75
得：θ=arccos0.75
渡河时间为：t′=$\frac{d}{{v}_{1}sinθ}$=$\frac{100}{4×\frac{\sqrt{7}}{4}}$=37.7s
渡河位移的大小为河的宽度，为：x′=d=100m
（3）当船在静水中的速度为V3=2m/s时，当船头垂直于河岸时，时间最短，为：
t″=$\frac{d}{{v}_{3}}$=$\frac{100}{2}$=50s
当船头与船在河中运动的合速度方向相垂直时，如图2所示，位移最短，为：
位移为：x″=$\frac{d}{cosα}$=$\frac{d}{\frac{{v}_{3}}{{v}_{2}}}$=$\frac{100}{\frac{2}{3}}$=150m
V3与河岸的夹角为：α=arccos$\frac{{v}_{3}}{{v}_{2}}$=arccos$\frac{2}{3}$
答：（1）欲使船以最短时间过河，船头方向要垂直于河岸，渡河时间是25s，位移为125m．
（2）欲使船航行的距离最短，船头方向与河岸成arccos0.75度的角，渡河时间为37.7s，位移为100m．
（3）若船在静水中的速度为V3=2m/s，则船渡过河的最短时间50s，最短位移是150m，船头方向与河岸的夹角成arccos$\frac{2}{3}$度角

点评 关于渡河问题，是考试的一个热点，要注意分析渡河的几种情况，一是以最短时间渡河的情况，也就是沿垂直于河岸的方向上的速度最大时，渡河时间最短，此时的渡河距离不一定是最短的；二是垂直渡河的情况，要在沿河岸方向上合速度为零，此时要有条件船在静水中速度要大于河流的速度；三是当船在静水中的速度小于河水的流速时，船头的方向垂直于合速度，此种情况下对河位移有最小值；再者是当河水的流速发生变化时，对渡河的影响的分析．

练习册系列答案
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