Question

13．已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，则距地面高度为h处的重力加速度为$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$，某星球的半径是地球的一半，质量是地球的4倍，在地球上以v₀竖直上抛一物体达到的最大高度为H，则在该星球以同样的初速度竖直上抛的最大高度为$\frac{H}{16}$，该星球与地球的第一宇宙速度之比为2$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 抓住重力和万有引力相等展开讨论即可；
根据竖直上抛运动的规律求得上升的最大高度跟重力加速度的关系，再由（1）问的中重力加速度关系求得上升最大高度比．
再根据第一宇宙速度求星球的第一宇宙速度，即可求解；

解答 解：根据题意有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg…①
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mg′…②
由①和②得：g′=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$
据竖直上抛运动规律可知，以v₀竖直上抛一物体，上升的最大高度为：H=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
而在星球表面重力与万有引力相等有重力加速度的表达式：
g″=G$\frac{4M}{（\frac{R}{2}）^{2}}$=16g
则在该星球以同样的初速度竖直上抛，则有：$\frac{H′}{H}$=$\frac{g}{g″}$=$\frac{1}{16}$
那么以同样的初速度竖直上抛的最大高度为$\frac{H}{16}$；
地球表面重力等于万有引力，近地轨道上万有引力提供圆周运动向心力有：
mg=m$\frac{m{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{gR}$
同理可得某星球的第一宇宙速度为：v′=$\sqrt{g″\frac{R}{2}}$=$\sqrt{16g×\frac{R}{2}}$=2$\sqrt{2}$v
因此星球与地球的第一宇宙速度之比为2$\sqrt{2}$：1；
故答案为：$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$，$\frac{H}{16}$，2$\sqrt{2}$：1．

点评 本题抓住在星球表面重力与万有引力大小相等，根据半径与质量关系求解重力加速度的大小关系，能根据竖直上抛求得上升最大高度与重力加速度的大小关系．第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，由星球表面的重力提供圆周运动的向心力．