Question

5．如图所示，在坐标系y右侧存在一宽度为a、垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度的大小为B；在y左侧存在与y轴正方向成θ=45°角的匀强电场．一个粒子源能释放质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在点P（-a，-a）时发出的粒子恰好垂直磁场边界EF射出；将粒子源沿直线PO移动到Q点时，所发出的粒子恰好EF与x轴的交点射出．不计粒子的重力及粒子间相互作用力．求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）粒子源在Q点时，粒子在磁场中运动的速度和从发射到第二次进入磁场所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理和牛顿第二定律列方程联立求解E的大小；
（2）粒子恰好不能从EF射出时与边界EF相切，由几何知识求得圆周运动的半径，几何公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出圆周运动的时间，进而求得运动的三阶段的总时间．

解答 解：（1）粒子源在P点时，粒子在电场中被加速，根据动能定理有：
qE•$\sqrt{2}$a=$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}qEa}{m}}$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
由几何关系知，R₁=$\sqrt{2}$a，
联立解得：E=$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}a}{2m}$；
（2）粒子源在Q点时，粒子在磁场中运动轨迹与边界EF相切，
由几何关系知R₂=（2-$\sqrt{2}$）a，
根据牛顿第二定律 有：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，
磁场中运动速度为：v₂=$\frac{（2-\sqrt{2}）qBa}{m}$，
粒子在Q点射出，开始的电场中加速运动：t₁=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）qB}{m}$，
进入磁场后运动四分之三个圆周：t₂=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πm}{2qB}$，
第一次出磁场后进入电场，作类平抛运动：t₃=$\frac{2{v}_{2}}{a}$=$\frac{2（2-\sqrt{2}）m}{qB}$，
粒子从发射到第二次进入磁场的时间为：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（12+3π-6\sqrt{2}）m}{2qB}$；
答：
（1）匀强电场的电场强度为$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}a}{2m}$；
（2）粒子源在Q点时，粒子从发射到第二次进入磁场的时间为$\frac{（12+3π-6\sqrt{2}）m}{2qB}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后分阶段根据动能定理，牛顿第二定律列式求解．