Question

14．如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨MN、PQ水平固定，其间间距为L，一长也为L、阻值为R₀的金属棒ab垂直于导轨放置且固定在导轨上（与导轨接触良好）．导轨右侧NQ间接阻值为R的定值电阻，其它电阻忽略不计，另在ab上连接一对水平放置的平行金属板AC，板间距离和板长均为L，板间的磁感应强度为B₂匀强磁场方向垂直纸面向里，轨道处理想边界cd左侧处的磁场B₁方向竖直向下，cd右侧无磁场，且bc=ad=L、cQ=dN=$\frac{L}{2}$，当轨道间的磁场以某一规律均匀变化时，一带正电的微粒（不计重力）以一初速度v₀从金属板AC间沿板方向垂直进入磁场B₂刚好能做匀速直线运动．试求：
（1）AC两板间的电压U；
（2）abcd回路间由于磁场变化产生感应电动势E
（3）设0时刻轨道间的磁场B₁大小为B₀，写出轨道间磁场B₁随时间变化的规律（即B₁与t的关系式）

Answer 1

分析 （1）根据带电粒子受电场力和洛伦兹力平衡，结合电势差与电场强度的关系求出AC两板间的电压．
（2）根据闭合电路欧姆定律求出abcd回路间由于磁场变化产生感应电动势E．
（3）根据法拉第电磁感应定律求出磁感应强度的变化率，结合感应电流的方向确定磁场是均匀减小的，从而得出轨道间磁场B₁随时间变化的规律．

解答 解：（1）带电微粒做匀速直线运动，可知粒子受电场力和洛伦兹力平衡，根据左手定则知，洛伦兹力的方向向上，则电场力方向向下，
根据平衡有：$q{v}_{0}{B}_{2}=q\frac{U}{L}$，
解得AC两板间的电压U=B₂v₀L．
（2）感应电动势E=I（R+R₀）=$\frac{U}{R}（R+{R}_{0}）$=$\frac{（R+{R}_{0}）{B}_{2}{v}_{0}L}{R}$．
（3）根据E=$\frac{△B}{△t}S=\frac{△B{L}^{2}}{△t}$得，$\frac{△B}{△t}=\frac{（R+{R}_{0}）{B}_{2}{v}_{0}}{RL}$，
由（1）知正电荷电场力向下，所以上极板带正电，即N点电势高，感应电流应为adcba，由楞次定律知磁场应是均匀减小的，所以
${B}_{1}={B}_{0}-\frac{△B}{△t}t$=${B}_{0}-\frac{（R+{R}_{0}）{B}_{2}{v}_{0}}{RL}t$．
答：（1）AC两板间的电压U为B₂v₀L；
（2）abcd回路间由于磁场变化产生感应电动势为$\frac{（R+{R}_{0}）{B}_{2}{v}_{0}L}{R}$；
（3）轨道间磁场B₁随时间变化的规律为B₁=${B}_{0}-\frac{（R+{R}_{0}）{B}_{2}{v}_{0}}{RL}t$．

点评 本题考查了电磁感应与带电粒子在复合场中运动的综合，通过粒子平衡得出平行板间的电势差是解决本题的关键，掌握法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律，并能灵活运用．